概率论试题(含解析)

概率论与数理统计共4页第1页1一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件AB、独立，且()0.8,()0.4PABPA，则__(|)PBA等于（A）0；（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.答：（B）2、设fx是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是（A）fx连续；（B）()(),PXafaaR；（C）fx的值域为[0,1]；（D）fx非负。答：（D）3、随机变量),(~2NX，则概率{1}PX随着的变大而（A）变小；（B）变大；（C）不变；（D）无法确定其变化趋势。答：（A）4、已知连续型随机变量XY、相互独立,且具有相同的概率密度函数()fx，设随机变量min{,}ZXY，则Z的概率密度函数为（A）2)]([zf；（B）2()()zfudufz；（C）2)](1[1zf；（D）2(1())()zfudufz.答:（D）5、设12+1,,,,,,mmnXXXXX是来自正态总体(0,1)N的容量为n的简单样本，则统计量2121()miiniimnmXmX服从的分布是（A）(,)Fnmm（B）(1,1)Fnmm（C）(,)Fmnm（D）(1,1)Fmnm答:（C）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。6、某人投篮，每次命中的概率为23，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为(1)2,1()0,xAexfx其它，则常数A=12.8、二维随机变量(,)XY的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,xyxyFxy其它，则概率(1)PY=23.9、已知随机变量XY、的方差分别为2,1DXDY，且协方差(,)0.6CovXY，则)(YXD=1.8.10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正态分布2(,0.3)N，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值_x＝1.12，则的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).（已知0.0251.96z，0.051.65z，0.025(8)2.3060t，0.05(8)1.8595t）三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,0.1.概率论与数理统计共4页第2页2顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）解：设B表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；iA表示取到的一箱中含有i个残品，0,1,2i，则所求概率为20()(|)()...............................................................................(5')19181716181716150.810.10.1...........................(9')20191817201918170.9iiiPBPBAPA43...................................................................................................(10')12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为22(),01()30,xxxfx其它，（1）求概率(01/2)PX；（2）求1()EX.解：（1）由题意1220(012)2()....................................................(4')31....................................................................................................(5')6xPXxdx（2）由随机变量函数的数学期望的性质10111()()2()............................................(9')353...............................................................................................(10')EfxdxxdxXx13、已知连续型随机变量X的分布函数为0,0()arcsin,011,1xFxAxxx，（1）求常数A；（2）求(1/23/2)PX；（3）求X的概率密度函数()fx.解：（1）由分布函数的性质(1)(1)arcsin11...........................................................(1')FFA因此可得2...........................................................................(3')A（2）由分布函数的性质(1/23/2)(3/2)(1/2).........................................(5')22arcsin(3/2)arcsin(1/2)13............................................(7')PXFF（3）由密度函数的定义2201()()............(10')10,xdFxfxxdx，其它14、已知二维连续型随机变量(,)XY的联合概率密度函数为概率论与数理统计共4页第3页3学院：专业：,0(,)0,yexyfxy其它，（1）求概率(1)PXY；（2）分别求出(,)XY关于XY、的边缘密度函数()()XYfxfy、,并判断,XY是否独立。解：（1）由题意{1}12112(1)00122(1)(,)...............................................(2')().....................................(4')(1).................................xyxyxxxPXYfxydxdydxedyeedye...............................................(5')（2）由边缘密度函数的定义,0,0()..............................(7')0,0,yxxXedyxexfx其它其它0,0,0().............................(9')0,0,yyyYedxyyeyfy其它其它因为当0,0xy时，(,)()()XYfxyfxfy，故XY、不独立。.........(10')15、已知二元离散型随机变量(,)XY的联合分布律为（1）分别求出(,)XY关于XY、的边缘分布律；（2）分别求出,,,,.XYEXEYDXDY解：（1）(,)XY关于X的边缘密度函数为01............................(2')0.20.8(,)XY关于Y的边缘密度函数为101..........................(5')0.10.30.6（2）由（1）可得0.8,0.16;0.5,0.45..................(7')EXDXEYDY又()(1)10.08110.480.40.......................................(8')EXY则(,)()0.40.80.50.................(10')0.160.45XYCovXYEXYEXEYDXDYDXDY16、已知总体X服从参数为(01)pp的几何分布，即X的分布律为1(1)xPXxpp，1,2,x，若12,,,nXXX为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。解：似然函数为11()(1)............................................................(3')inxiLpppYX-10100.020.060.1210.080.240.48概率论与数理统计共4页第4页41ln[()]ln()ln(1)..............................(5')niiLpnpxnp对数似然函数1^1ln[()]00.....................................................(8')1...........................................................(10')niiniinxdLpndpppppnX令的最大似然估计量四、应用题（本大题共1个小题，5分）。17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知(1.65)0.95）解：设X表示n个部件中正常工作的部件数，则(,0.9).................(1')Xbn由中心极限定理(0.9,0.09)......................................................(2')XNnn近似由题意，要求满足(80%)0.95XPn的最小的n，而0.90.80.9(0.8)0.95()0.950.30.3(3)0.95(1.65)31.6524.5.......................(4')XnnnPXnPnnnnn即n至少为25............................................................................................(5')五、证明题（本大题共1个小题，5分）。18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为的泊松分布，即X的分布律为(),0,1,2,!kePXkkk，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.证明：这只母鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为p的泊松分布，即()()(),0,1,2!rppPYrerr.证明：由题意，对任0,1,2r()(|)()............................................(2')!(1)(1)........(3')!!!()!()((1)!()!krkrrkrrkrkrkrkrrkrkrkrPYrPYrXkPXkkeepkppprkrkkrepeprkr(1)())!().....................................................................................(5')!rpprperepr