模型解的分析和检验

3.6模型解的分析和检验始于现实世界并终于现实世界数学建模工作最终要得到现实问题的解答求出模型的数学解以后，必须对解的意义进行分析、检验需讨论以下类似问题：1.这个解说明了什么问题？2.是否达到了建模的目的？3.模型的适用范围怎样？例3.6.1《格列佛游记》中小人国的小人们为估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了一个数学模型.4.所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？……W=aH3W是人的体重，H是人的身高.检验：先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得得模型为W=24H3,245.0/3/33HWa这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型,据此可计算得身高为1.5米的儿童体重为W(1.5)=81(千克)；身高为2米的运动员体重为W(2)=192(千克).检验模型是数学建模工作的重要环节例3.6.2将一块石头扔进洞中估计洞的深度.一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t和洞深h的关系模型：,0,))exp(1(2tkgktktkgh用到假设：k为比例系数.分析检验1.检查模型的量纲是否正确?*1石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;*2阻力产生的加速度也和速度正比.根据比例系数k的定义有kVdtdVLT－2=[k]LT－1[k]=T－1注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的量纲正确.2.检验模型是否与物理定律相符?若忽略空气阻力（即k=0）,应有h=0.5gt2验证模型是否与此物理定律相符.能否将k=0代入模型2))exp(1(kgktktkgh？参见讲义p59.3.参数的灵敏度分析取参数k的值为0.05(克/秒),可算得)(50.73)05.0(81.9)]2.0exp(05.014[05.081.9)4(21米hh即,若回声在4秒听到，模型测算出洞深73.50米.又若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？令k=0.045,参数的相对变化幅度为︱0.045－0.05︱/0.05=10%，计算得h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对变化幅度为？（73.5－73.89）/73.5＜1%.说明模型对空气阻力比例系数k不敏感,即对洞深预测影响不大,可忽略空气阻力.4.进一步分析空气的影响若完全忽略空气的影响,有h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，绝对误差为78.48－73.50≈5(米)，？结果分析说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响.模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音能立即听到.相对误差为（78.48－73.50）/73.50≈7%，未考虑声音在空气中的传播速度.传播速度大约为330米／秒,则石头着地声音的传播时间大约为取修正时间为t=4－0.223=3.777（秒）可得h(3.777)≈65.77(米)结论声速的影响远甚于空气阻力的影响.通过对模型的分析、检验，发现由于模型假设不合理,考虑因素不合适,造成模型不合理.需重新进行问题的前期分析工作h／330≈73.5／330≈0.223（秒）1.量纲一致性检验；2.假设的合理性检验；3.对模型参数的灵敏度分析；4.模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等；5.参数或变量的临界值；……模型与模型解的分析与检验，通常需要做以下几类工作：