正弦定理余弦定理的运用

正弦定理、余弦定理应用举例（一）一、教学目标（一）知识目标1.实际应用问题中的专用名词；2.解斜三角形问题的类型.（二）能力目标1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法；2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力..二、教学重点1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定.三、教学方法启发式在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理.四、教学过程Ⅰ.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.Ⅱ.讲授新课[例1]如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长分析：如图所示，对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解.[例2]某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9nmile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.[评述：实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度分析：在Rt△EGA中求解EG，只有α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，S△OPC可用21·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视.Ⅲ.课堂作业：P202、3、4Ⅳ..课时小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.Ⅴ.课后作业课本P21练习2、3、4正弦定理、余弦定理应用举例（二）南通市冠今中学高一数学备课组一、教学目标（一）知识目标1.正、余弦定理的应用；2.解斜三角形问题的类型.（二）能力目标1.进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3.通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.二、教学重点1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定.三、教学过程Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.Ⅱ.例题指导[例1]如图,曲柄连杆机中，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）（精确到1mm）分析：如图所示，因为A0A＝A0C－AC，又知A0C＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了.在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC.评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围.要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A内角和定理求B正弦定理求AC→求A0A.BCAB0A0［例2］据气象台预报，距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由。分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.［例3］书例3［例4］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40m，计算BC的长分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40m，AB＝1．95m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′.相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.Ⅲ.课堂作业：1、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(αβ),则A点离地面的高度AB等于（）A．)sin(sinsinaB．)cos(sinsinaABC．)sin(cossinaD．)cos(sincosa2、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距（）A．a(km)B．3a(km)C．2a(km)D．2a(km)3、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，那么角B（）A．B60°B．B≥60°C．B60°D．B≤60°Ⅳ课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.Ⅴ.课后作业课本P21习题1、5（3）海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处,俯角60°.①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？DC