步步高高考复习函数的奇偶性与周期性

步步高高考复习函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则()A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff域为R,所以(0)0f,且函数的图象关于2x对称,因为函数()fx在区间[0,2]上是增函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f,所以(25)(25)(1)0fff,(80)(0)0ff,(11)(3)0ff,所以(25)(80)(11)fff,故选D.答案D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()．A．－1B．0C．1D．2解析(构造法)构造函数f(x)＝sinπ2x，则有f(x＋2)＝sinπ2x＋＝－sinπ2x＝－f(x)，所以f(x)＝sinπ2x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中，既是偶函数，且在区间,0内是单调递增的函数是（）A．21xyB．xycosC．xylnD．xy2答案D4．若函数f(x)＝xx＋x－a为奇函数，则a＝()．A.12B.23C.34D．1解析(特例法)∵f(x)＝xx＋x－a是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴－1－2＋－1－a＝－1＋－a，∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝12.答案A【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()．A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析由已知条件对x∈R都有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)因此f(－x＋3)＝f[－(x－2)＋1]＝－f[(x－2)＋1]＝－f(x－1)＝f(－x－1)＝f(－x－2＋1)＝f(－(x＋2)＋1)＝－f((x＋2)＋1)＝－f(x＋3)，因此函数f(x＋3)是奇函数．答案D6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5解析∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.答案D【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9解析当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案B二、填空题8.已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2013)＝________.解析法一当x＝1，y＝0时，f(0)＝12；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－14；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－12；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－14；当x＝3，y＝2时，f(5)＝14；当x＝3，y＝3时，f(6)＝12；当x＝4，y＝3时，f(7)＝14；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－14；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－12.法二∵f(1)＝14，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝12cosπ3x，∴f(2013)＝12cosπ3×2013＝－12.答案－129.若函数f(x)＝a－ex1＋aex(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．解析f(－x)＝a－e－x1＋ae－x＝aex－1ex＋af(x)＋f(－x)＝a－exa＋ex＋＋aexaex－＋aexex＋a＝a2－e2x＋a2e2x－1＋aexex＋a＝0恒成立，所以a＝1或－1.答案1或－110．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案－111．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)12.对于函数()lg21fxx，有如下三个命题：①(2)fx是偶函数；②()fx在区间,2上是减函数，在区间2,上是增函数；③(2)()fxfx在区间2,上是增函数．其中正确命题的序号是．（将你认为正确的命题序号都填上）解析函数()fx和(2)fx的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数2(2)()lglg2lglg122xfxfxxxxx，由复合函数的单调性法则，可知函数(2)()fxfx在区间2,上是减函数。所以③错。答案①②三、解答题13.f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，求f(log126)的值解析∵log126＝－log260，且f(x)为奇函数，∴f(log126)＝－f(log26)．又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log232)，而log232∈(0,1)．∴f(log232)＝2log232－1＝32－1＝12.∴f(log126)＝－12.14．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解析(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.15．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解析(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a≤0，f′(x)＞0，则f(x)在(2，＋∞)上是增函数，当a＞0时，由f′(x)＝2x3－ax2＞0，解得x＞3a2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a2≤2.解得0＜a≤16综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．16.已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解析(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，当t＋14，即t3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.综上，h(t)＝－t2＋6t＋7，t3163≤t≤4－t2＋8t，t4.(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋6x＝2x2－8x＋6x＝x－x－x(x0)．当x∈(0,1)时，φ′(x)0，φ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，φ′(x)0，φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)0，φ(x)是增函数；当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.∵当x充分接近0时，φ(x)0；当x充分大时，φ(x)0.∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需φx极大值＝m－70φx极小值＝m＋6ln3－150，即7m15－6ln3.所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．