武汉大学20052006线性代数试题(工科54学时)

武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A卷（供工科54学时用）学院专业学号姓名注所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111A，当1n是不小于的整数时，计算nA.2．设二阶方阵A满足方程OIAA232，求A所有可能的特征值.3．求二次型213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf的秩.4．已知阶矩阵(2)n，且非奇异，求**()A.5．设A是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0EAEA-，计算AI323.6.设n阶向量Txx)00(，，，，，矩阵TnIA,且TnxIA1，求实数x.二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016Aa，且()2RA，满足，求a和.2．已知222254245A,121b,就方程组AXb无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222fxxxxxxxxxxxx,(1).求出二次型f的矩阵A的全部特征值;(2).求可逆矩阵P，使APP1成为对角阵;(3).计算mA(m是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且IAAT及时,证明：0AI.(2).当m为给定任意正整数且OIAm)(时,证明：A可逆.2.（15分）对线性空间3R中的向量组A：123,,和B：123,,,讨论下面的问题：(1).向量组B是否能成为3R中的基？能否用A线性表示B？如果可以，试求出由123,,到123,,的过渡矩阵P,其中110021103111；111a2112a3110，且a为实数.(2).若112321233123(22),(22),(22),kkkk是非零实数，（a）给出向量组123,,线性无关的一个充要条件，并证明之；（b）给出矩阵123(),,为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n；2、1212＝，＝；3、2；4、2nAA；5、－10；6、－1.二、解答题：1、解：由初等变换求得a＝1，（记EI，下同），由0EA，因此可逆，且2、解：经计算,因此方程组有唯一解。时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，即时无解。时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，所以时有无穷多解。等价方程组为:令，得通解为：3、解：1)二次型的矩阵为A＝;|E-A|＝=(+1)(－2)所以A的全部特征值为：＝－1,＝＝2对=—1,解(－E－A)X＝0得基础解系为＝(1,1,1)；对＝＝2,解(2E—A)X＝0得基础解系为＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。2).令P＝123(,,)＝，即为所求可逆阵，此时AP＝＝.3)1(1)2(1)42mmmmmmmAPP.三、证明题和讨论题1、证明：1），所以.2）由12121()mmmmmAEAkAkAkAEo，其中(1,2,1.)ikim均为组合系数.得123121()0mmmmAAkAkAkEE,从而0.A即可逆.(另证:设为A的任意一个特征值，X为对应的特征向量，则AX=X，注意EX=X,两式相加(A+E)X=(+1)X,两边左乘矩阵A+E，得(A+E)X=(+1)(A+E)X=(+1)X.重复该过程可得(A+E)X=(+1)X,而(A+E)=0，且X0，所以有(+1)=0故A的任一个特征值都为－1，由||==(1)0m,可逆。)2、解：设123(,,)A,123(,,)B,1）111011001A，11111120Baa－，易知1a时,123,,能成为3R中的基.即有ABQ,且0Q,令11()BAQAPPQ＝，故能用A线性表示B.由初等行变换求得1110011001A－＝－，则所求过渡矩阵为100211120PABaaaa.2)由题设CBA＝，其中221C=212122k－－－－，且3270Ck.如果0A，即123,,线性无关，则有CC0BAA＝，得123,,线性无关；反之如果123,,线性无关，则由C0AB，得到0A.可见,123,,线性无关是123,,线性无关的一个充分必要条件.如果123(,,)A是正交阵,即AAE,则222212212122129122122BBCAACCCkkE,可见13k时.B是正交阵.反之B是正交阵时,29BBACCAkAAE,即AA219Ek,可见13k时,A是正交阵.综上,B为正交阵的一个充要条件是13k且A为正交阵.