武汉工程大学2008年专升本《高等数学》考试大纲

1武汉工程大学2008年专升本《高等数学》考试大纲一、考试的基本要求较系统地理解和掌握高等数学的基本概念、基本理论和方法，具有一定的抽象思维、逻辑推理、运算能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。二、考试方法、考试时间。考试方法为闭卷笔试；考试时间为120分钟。三、题型比例填空题占20%；选择题占20%；解答题(包括证明题)占60%四、试卷考试内容、考试要求1、一元函数、极限、连续考试内容：一元函数概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及图形，建立函数关系，数列、函数极限的定义及性质，函数左、右极限，无穷小、无穷大概念及关系，无穷小的性质及比较，极限四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1sinlim0xxx,exxx)11(lim，函数连续性，间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质考试要求：（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、值域。（2）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。（3）掌握基本初等函数的性质及图形。（4）理解极限存在与左、右极限间的关系。（5）掌握极限的性质及四则运算法则。（6）了解极限存在的两个准则，会利用两个重要极限求极限。（7）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较方法并会用等价无穷小2求极限。（8）理解函数连续性概念（含左、右连续），会求函数间断点。（9）掌握连续函数性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。2、一元函数微分学考试内容：导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数的四则运算，复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定函数的微分法、高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则，函数极值，最大（小）值求法及简单应用，函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线考试要求：（1）理解导数、微分的概念及关系，理解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，理解可导性与连续性间的关系。（2）掌握基本初等函数求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数求导法则。了解一阶微分形式不变性，会求函数的微分。（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。（4）会求隐函数、参数方程所确定的一、二阶导数。（5）理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理。（6）理解函数极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求函数极值的方法。掌握函数最大（小）值的求法及简单应用。（7）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，了解函数图形的水平、铅直渐近线。（8）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。3、一元函数的积分学考试内容：原函数和不定积分的概念、不定积分的基本公式、性质、定积分的概念及基本性质，变上限积分定义的函数及导数，牛顿—莱布尼茨公式，不定积分、定积分的换元法及分部积分法，反常积分的概念、计算，定积分的应用3考试要求：（1）理解原函数，不定积分、定积分的概念、性质。（2）掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法和分部积分法。会求简单有理函数，三角函数有理式和可化为有理函数的无理函数的积分。（3）理解变上限积分函数的定义，会求其导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的换元法和分部积分法。（4）了解反常积分的概念，并会计算一些简单函数的反常积分。（5）会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积。4、向量代数和空间解析几何考试内容：向量的概念，向量线性运算、数量积和向量积的概念和运算，两向量的夹角，向量的坐标表达式及运算、单位向量、方向余弦，两向量平行及垂直的条件，平面方程、直线方程，平面与直线、直线与直线之间的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面、点到直线的距离考试要求：（1）理解空间直角坐标，理解向量的概念及表示形式。（2）掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）及其性质。（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式、掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。（4）掌握平面、直线方程。会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角。5、多元函数微分学考试内容：多元函数的概念、二元函数的几何意义，二元函数极限，连续的概念，多元函数偏导数、全微分概念与计算；多元复合函数求导、隐函数求导法，二阶偏导数，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值、条件极值问题与拉格朗日乘数法考试要求：（1）理解多元函数概念。4（2）了解二元函数极限连续性概念及有界闭区域上连续函数的性质。（3）理解多元函数偏导和全微分概念，了解全微分存在的充分条件。（4）掌握多元复合函数偏导的求法，会求复合函数的二阶偏导数。（5）会求隐函数的偏导数。（6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求方程。（7）理解多元函数极值和条件极值的概念，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，了解条件极值的拉格朗日乘数法。6、多元函数的积分学考试内容：二重积分概念、性质、计算及应用考试要求：（1）理解二重积分的概念，了解重积分的性质。（2）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。7、无穷级数考试内容：常数项级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，正项级数收敛性的一般判别原则，比较审敛法，比值审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数一般概念，幂级数收敛半径、收敛域，幂级数的运算性质，函数展开成幂级数考试要求：（1）理解无穷级数收敛、发散以及级数和的概念，掌握无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。（2）掌握几何级数和P-级数的收敛性。（3）掌握正项级数的比较、比值审敛法。（4）了解交错级数的莱布尼兹定理。（5）了解无穷级数的绝对收敛、条件收敛概念及关系。（6）了解函数项级数的收敛概念。（7）掌握幂级数收敛域的求法。（8）了解幂级数在收敛区间的基本性质。5（9）会利用nxxxxxe）（、、、、1)1(lncossin的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。8、常微分方程考试内容：常微分方程基本概念，可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶方程考试要求：（1）了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念。（2）掌握变量可分离及一阶线性方程的解法。（3）会解齐次微分方程。（4）会用降阶法解三种可降阶的方程。五、考试内容大致比例一元函数微积分学60%向量代数与空间解析几何5%多元函数微积分学20%无穷级数5%常微分方程10%六、试题难易度大致比例容易题30%中等难度题50%较难题20%七、参考教材1．同济大学应用数学系编．高等数学（本科少学时类型）（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．2．盛祥耀、居余马等编．高等数学（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．6武汉工程大学2008年专升本《高等数学》考试样卷一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．若,,2yxyyxyxf则yxf,．2．xnisxinsxx1lim20．3．设322axxy在1x处取得极小值，则a=．4．设向量,23aijbjk，则ab．5．201xdttdxd．二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．6．函数41922xxxf的定义域是[]（A）,22,；（B）3,22,3；（C）3,22,3；（D）,32,23,.7．曲线26322xxy上点M处的切线斜率为15，则点M的坐标是[]（A）)15,3(；（B）)1,3(；（C）)15,3(；（D）)1,3(8．设cos(2)zxy，则zy等于[]（A）sin(2)xy；（B）2sin(2)xy；（C）sin(2)xy；（D）2sin(2)xy.9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[]7（A）Axy，2,1x；（B）)1ln(xy，1,1x；（C）xy1，1,1x；（D）)1ln(2xy，3,0x.10．无穷级数14/511nnn[]（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性不能确定.三、解答题：11~18小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（本题满分7分）计算定积分1230(1)xxdx．12．（本题满分7分）设20061()fxxgx,其中)(xg在1x处连续，且1)1(g，求)1(f．13．（本题满分8分）求抛物线243yxx及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的平面图形的面积．14．（本题满分8分）求微分方程2(6)20yxdyydx的通解．15．（本题满分8分）计算Dyydxde2，其中D是以)0,0(O，)1,1(A，)1,0(B为顶点的三角形闭区域．16．（本题满分8分）求二元函数yxyxyxz39422的极值．17．（本题满分7分）求微分方程3()0(0)xydyydxy的通解．18．（本题满分7分）设)(xf在],[ba上连续，且xbxadttfdttfxFxf)(1)()(,0)(，)(bxa，证明：（1）2)(xF；（2）方程0)(xF在,ab内有且仅有一个实根。8武汉工程大学2008年专升本《高等数学》考试样卷参考答案一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．若,,2yxyyxyxf则yxf,1()2xxy．2．xnisxinsxx1lim200．3．设322axxy在1x处取得极小值，则a=4．4．设向量,23aijbjk，则ab2．5．201xdttdxd212xx．二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．6．函数41922xxxf的定义域是[C]（A）,22,；（B）3,22,3；（C）3,22,3；（D）,32,23,．7．曲线26322xxy上点M处的切线斜率为15，则点M的坐标是[B]（A）)15,3(；（B）)1,3(；（C）)15,3(；（D）)1,3(．8．设cos(2)zxy，则zy等于[D]（A）sin(2)xy；（B）2sin(2)xy；（C）sin(2)xy；（D）2sin(2)xy。9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是[D]9（A）Axy，2,1x；（B）)1ln(xy，1,1x；（C）xy1，1,1x；（D）)1ln(2xy，3,0x.10．无穷级数14/511nnn[A]（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性不能确定．三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（本题满分7分）计算定积分1230(1)xxdx．解：原式=123201(1)(1)2xdx=1042)1(81x=15812．（本题满分7分）设20061()fxxgx,其中)(xg在1x处连续，且1)1(g，求)1(f．解：1)1()(lim)1('1xfxffx20061(1)()lim1xxgxx200520041(1)(1)()lim1xxxxxgxx200520041lim(1)()xxxxgx200613．（本题满分8分）求抛物线243yxx及