曲线积分与曲面积分练习题

练习题(曲线积分与曲面积分)1．设L是从点1,2A沿曲线22xy到点4,22B的弧段,则第一类曲线积分LdsxyI1的值为_____________,第二类曲线积分dyyxdxxyIL22的值为_____________.2．设L是从点0,,eeA沿曲线tttezteytex,sin,cos到点1,0,1B的弧段,则第一类曲线积分LdszyxI2221的值为_____________,第二类曲线积分zdzdyyxdxIL2的值为_____________.3．设有曲线积分,4L22yxxdyydxI其中L为椭圆,1422yx并取正向，则I的值为_____________.4.设是逆时针方向环绕原点的简单光滑闭曲线，试计算积分221yxxdyydxI和222yxydyxdxI.5.设有从点)2,2(A到点)2,2(B再到点)2,2(C的折线L.求积分xdydxyIL22sincos.6.求空间曲线223,3,3tztytx上从)0,0,0(O到)2,3,3(一段的弧长.7.计算222)()()(dzxyzdyzxydxyzx，其中是螺线2,sin,coshzayax上从点)0,0,(aA到),0,(haB的一段.8．设曲线积分dyyykxdxxyxIqp)5()4(42L4与路径L无关,则p_______,q_______,k_______.9.验证dyyxydxyx422332是某函数),(yxU的全微分，并求此函数的表达式.10.设函数)(xf在),(内具有一阶连续导数，L是上半平面(0y)内的有向分段光滑曲线，其起点为),(ba，终点为),(dc.记LdyxyfyyxdxxyfyyI]1)([)](1[1222(1)求证：曲线积分I与路径无关；(2)当1cdab时，求I的值.11．确定常数，使在右半平面0x上的向量值函数jyxxiyxxyyxA)()(2),(24224为某二元函数),(yxu的梯度.12．设)(xf具有二阶连续导数，1)0(,0)0(ff，且0])([])()([2dyyxxfdxyxfyxxy为全微分方程，求)(xf.13.设),(yxQ在全平面上有连续的一阶偏导数,且曲线积分LxdyyxQdxye),(与路径无关,又对任意的t,),1()0,0()1,()0,0(),(),(txtxdyyxQdxyedyyxQdxye,试求),(yxQ的表达式.14.设C是区域}10,10),({yxyxD的边界的正向.求证：Cxydxyedyxe2sinsin.15.设是XY平面上的一个不含原点的有界闭区域，其面积为A.又设曲面),(,:22yxyxaz.求证:曲面的面积12aAS.16．计算SdSzyx)4121(222，其中S为球面.2222azyx17.计算曲面积分SdSnzmylxazI)(2，其中S为上半球面)0(2222zazyx，),,(nml为球面外法线的方向余弦.18.计算dxdyxzydzdxxdydzzxyI)()(22其中是边长为a的正立方体的表面并取外侧.19．计算曲面积分dxdyzzyxfdzdxzyxfydydzxzyxfI]),,([)],,(2[]),,([其中f为连续函数，为平面1zyx在第一卦限部分的上侧.20．计算：SzyxzdxdyydzdxxdydzI222其中S是球面：2222Rzyx的上半部分的下侧。21.用化成二重积分和利用Gauss公式这两种方法来计算第二类曲面积分dxdyzdzdxydydzxI)3()2()1(333，其中是半球面0,1222zzyx，积分沿的关于Z轴的上侧.22.计算曲面积分SdxdyxyzdxdzydydzxI,)(22333其中(1)S是球面2222azyx的外侧;(2)S是半球面222yxaz的上侧;23.质点P沿以AB为直径的半圆周(位于直径AB之下)从点A(1,2)运动到点B(3,4).在这一过程中,质点P受变力F作用,F的大小等于点P到原点O的距离,F的方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于2,求变力F对质点P所做的功.24．设圆锥面:22yxz(hz0)上分布有质量，假设其上各点的面密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为k),求的质量.25.设某流速场的速度矢量},,1{22yxezAz，求A穿过曲面:22yxz（21z）的流量，其中的法线方向与Z轴正向的夹角为钝角.26．设kxzjxyixyA)cos()cos(，求向量场A的散度.27．设222lnzyxu，求)grad(divu.28．设有向量场2221gradzyxA，求向量场A的散度和旋度.