曲边梯形面积与定积分(二)教案

1/41.4.1曲边梯形面积与定积分【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0x1x2…xn－1xn＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝i＝0n－1f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃbaf(x)dx，即ʃbaf(x)dx＝_____limλ→0i＝0n－1f(ξi)Δxi___.2．在定积分ʃbaf(x)dx中，f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)dx叫做被积式．3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是一条连续的曲线，则f(x)在[a，b]一定是可积的．4．定积分的性质(1)ʃbakf(x)dx＝kʃbaf(x)dx(k为常数)；(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx；(3)ʃbaf(x)dx＝ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中acb).探究点一定积分的概念问题1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．问题2怎样正确认识定积分ʃbaf(x)dx?答(1)定积分ʃbaf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃbaf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限limn→＋∞i＝1nf(ξi)·Δx，而ʃbaf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃ10x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.(2)近似代替、作和：取ξi＝in(i＝1,2，…，n)，则ʃ10x3dx≈Sn＝∑ni＝1f(in)·Δx2/4＝∑ni＝1(in)3·1n＝1n4∑ni＝1i3＝1n4·14n2(n＋1)2＝14(1＋1n)2.(3)取极限ʃ10x3dx＝limn→＋∞Sn＝limn→＋∞14(1＋1n)2＝14.小结利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．跟踪训练1用定义计算ʃ21(1＋x)dx.解(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝1n.(2)近似代替、求和：在1＋i－1n，1＋in上取点ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而得i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n(2＋i－1n)·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·nn－12＝2＋n－12n.(3)取极限：S＝limn→＋∞2＋n－12n＝2＋12＝52.因此ʃ21(1＋x)dx＝52.探究点二定积分的几何意义问题1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃbaf(x)dx表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃbaf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(ab)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．问题2当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃbaf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于b－an0，f(ξi)≤0，故f(ξi)b－an≤0.从而定积分ʃbaf(x)dx≤0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即ʃbaf(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃbaf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃbaf(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－39－x2dx；(2)ʃ3－1(3x＋1)dx.解(1)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x2dx＝92π.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x＋1)dx3/4＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16.小结利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃ1－1xdx；(2)ʃ2π0cosxdx；(3)ʃ1－1|x|dx.解(1)如图(1)，ʃ1－1xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，ʃ2π0cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ1－1|x|dx＝2A1＝2×12＝1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质问题1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃba[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx±…±ʃbafn(x)dx；②ʃbaf(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N*)．问题2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则ʃa－af(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则ʃa－ag(x)dx＝2ʃa0g(x)dx.例3计算ʃ3－3(9－x2－x3)dx的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2dx＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3dx＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)dx＝ʃ3－39－x2dx－ʃ3－3x3dx＝9π2.小结根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．1ca21ccnbc4/4跟踪训练3已知ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝154，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝563，求：(1)ʃ203x3dx；(2)ʃ416x2dx；(3)ʃ21(3x2－2x3)dx.解(1)ʃ203x3dx＝3ʃ20x3dx＝3(ʃ10x3dx＋ʃ21x3dx)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2dx＝6ʃ41x2dx＝6(ʃ21x2dx＋ʃ42x2dx)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)dx＝ʃ213x2dx－ʃ212x3dx＝3ʃ21x2dx－2ʃ21x3dx＝3×73－2×154＝7－152＝－12.4．已知2π0sinxdx＝2πsinxdx＝1，2π0x2dx＝π324，求下列定积分：(1)ʃπ0sinxdx；(2)2π0(sinx＋3x2)dx.解(1)ʃπ0sinxdx＝2π0sinxdx＋2πsinxdx＝2；(2)2π0(sinx＋3x2)dx＝2π0sinxdx＋32π0x2dx＝1＋π38.1．定积分ʃbaf(x)dx是一个和式i＝1nb－anf(ξi)的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．