拉普拉斯变换20151205

〇、概述傅立叶分析方法之所以在信号与系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合。以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，即傅立叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外，在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解有一定的困难。为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，还可利用拉普拉斯（Laplace）变换扩大信号变换的范围。其优点是求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍；缺点是物理概念不如傅立叶变换那样清晰。傅立叶变换是以复指数函数中的特例，即以tje和nje为基分解信号的。对于更一般的复指数函数ste和nz，也理应能以此为基对信号进行分解。拉普拉斯变换与Z变换的分析方法是傅立叶分析法的推广，傅立叶分析是它们的特例。一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换信号f(t)乘上衰减因子te（σ为任意实数）后更容易满足绝对可积条件，再进行傅立叶变换，得tetftetfteetfetfsttjtjttdddFs=σ+jω具有频率的量纲，称为复频率。定义tetftfsFstdL为信号f(t)的双边拉普拉斯变换，其中s=σ+jω。若σ=0，则s=jω，tetfjFtjd就是f(t)的傅立叶变换，即连续时间傅立叶变换是双边拉普拉斯变换在σ=0或是在jω轴（虚轴）上的特例。f(t)的拉普拉斯变换就是tetf的傅立叶变换。只要有合适的σ存在，就可以使某些本来不满足狄利克雷条件的信号在引入后满足该条件，即有些信号的傅立叶变换不收敛而它的拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换比傅立叶变换有更广泛的适用性。拉普拉斯变换与傅立叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉普拉斯变换都存在，也不是复平面（s平面）上的任何复数都能使拉普拉斯变换收敛。使拉普拉斯变换积分收敛的那些复数s的集合称为拉普拉斯变换的收敛域（ROC：RegionofConvergence），拉普拉斯变换的ROC是非常重要的概念。不同的信号可能会有完全相同的拉普拉斯变换表达式，只是它们的ROC不同，例如tueat和tueat的拉普拉斯变换表达式都是as1，但前者的ROC为Re[s]-a，后者的ROC为Re[s]-a（Re[s]表示s的实部）。只有拉普拉斯变换表达式连同相应的ROC才能和信号建立一一对应的关系。几个函数之和的ROC是各个函数的ROC的公共部分，ROC总是以平行于虚轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与F(s)的分母的根对应的。如果拉普拉斯变换的ROC包含虚轴，则有jssFjFF(s)的分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将F(s)的全部零点和极点表示在复平面上就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个F(s)，最多与真实的F(s)相差一个常数因子。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。二、拉普拉斯变换的收敛域当F(s)为有理函数时，可以归纳出ROC的以下性质：1、ROC是复平面上平行于虚轴的带状区域；2、在ROC内无任何极点；3、时限信号（定义在-∞t+∞上的信号）的ROC是整个复平面；4、右边信号（定义在t0≤t+∞上的信号）的ROC是复平面内某一条平行于虚轴的直线的右边，且位于F(s)最右边极点的右边；5、左边信号（定义在-∞t≤t0上的信号）的ROC是复平面内的一条平行于虚轴的直线的左边，且位于F(s)最左边极点的左边；6、双边信号（定义在t1≤t≤t2上的信号）的ROC如果存在，一定是复平面内平行于虚轴的带形区域，可以是任意两相邻极点之间的带状区域。三、拉普拉斯变换的性质（ROC为运算后的收敛域，R为原收敛域）1、线性：sXbsXatxbtxasX2121L，ROC至少为R1∩R2，当R1和R2无交集时X(s)不存在；2、时移性质：00stesXttxL，ROC不变；3、复域平移：00ssXetxtsL，ROC为R平移了Re[s0]；4、时域尺度变换：asXaatx1L，ROC为R乘以a，表明若信号在时域上作尺度变换，其拉普拉斯变换的ROC在复平面上作相反的尺度变换；5、共轭对称性：sXtxL，当x(t)为实信号时，X(s)=X*(s*)，这表明实信号的拉普拉斯变换的复数零、极点必共轭成对出现；6、卷积性质：sXsXtxtx2121L，ROC至少为R1∩R2；7、时域微分：sXsttxddL，ROC至少包括R；8、复域微分：ssXtxtddL，ROC不变；9、时域积分：sXsxt1dL，ROC至少包括R∩(Re[s]0)；10、复域积分：sXttxdL，ROC至少包括R；11、初值定理：如果x(t)是因果信号（即t=0时刻接入的信号）且在t=0处不包含奇异函数，则ssXxslim0；12、终值定理：如果x(t)是因果信号且在t=0处不包含奇异函数，X(s)除了在s=0处可以有单阶极点外，其余极点均在复平面的左半边，则ssXtxst0limlim四、常用拉普拉斯变换对1、单位阶跃函数：ssetetutstst1d00L2、单边指数函数：astetuetasat1d0L（asRe）3、单位冲击函数：1dd00tttettstL，在整个复平面收敛4、幂函数：110100!ddnnstntstnstnnsntutsntetsnsettettutLL5、正弦函数：2211212sinsjsjsjtujeetuttjtjLL6、余弦函数：2211212cosssjsjstueetuttjtjLL五、拉普拉斯逆变换（一）定义由tetxsXstd，若s=σ+jω在ROC内，则有ttjtetxteetxjXFd故d21tjtejXetxjjsttjtsesXjeejXtxd21d21该式表明信号x(t)可以分解为复指数信号est的线性组合。（二）拉普拉斯逆变换的求法1、部分分式展开法：将X(s)展开为已知其逆变换的若干个函数之和，根据X(s)的ROC确定每一项的ROC，利用常用信号的变换对与拉普拉斯变换的性质对每一项进行反变换。2、留数①法（当X(s)是有理函数时）：求出的全部极点，求出X(s)est在ROC左边的所有极点处的留数之和，构成x(t)的因果部分；再求出X(s)est在ROC右边的所有极点处的留数之和并加负号，构成了x(t)的反因果部分。3、数值计算方法：利用计算机进行拉普拉斯反变换的计算。4、实例：216ssesXs，ROC：-2Re[s]-1暂时忽略se6，后续使用时移性质进行计算。（1）部分分式法：2111211ssssRe[s]-1：tuest111LRe[s]-2：tuest2121Ltuetuesstt212111L666621266261tuetuetuetuesXttttL（2）留数法：极点p1=-2位于ROC左边，极点p2=-1位于ROC右边，所以tuetuetusetusepesXpesXssttsstsststst21221121,Res,Res211LtuetuetuetuesXtttt666662126621L5、实例：2432342323sssssssX，Re[s]-1由于分子中s的最高次数不小于分母中s的最高次数，所以可先将X(s)化为24312432342322323ssssssssssssX将分母进行因式分解并展开成部分分式，得1141212ssssX该表达式中前两项很容易发现其为常用函数的其拉普拉斯变换，第三项可看做是三角函数的拉普拉斯变换经过复域平移的结果，即tutetesssssttsin3cos1113111114212121LLL第三项亦可用留数法求解，即tuttetutjtjjtjtjjetuejjejjsjssesjssesstttjtjjsstjsstsin3cossincos23sincos2323231114111411411121221L故tuttetuetsXttsin3cos21L六、单边拉普拉斯变换（一）概念单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特例，也就是因果信号的双边拉普拉斯变换。定义式0dtetxsst注意积分式下标为0-。因果信号做双边拉普拉斯变换和做单边拉普拉斯变换是完全相同的。单边拉普拉斯变换也同样存在ROC，其ROC必然遵从因果信号双边拉普拉斯变换时的要求，即单边拉普拉斯变换的ROC一定位于最右边极点的右边。正因为这一原因，在讨论单边拉普拉斯变换时，一般不再强调其ROC。单边单边拉普拉斯变换变换的反变换一定与双边单边拉普拉斯变换变换的反变换相同。（二）单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的大部分性质与双边拉普拉斯变换相同，但也有几个不同的性质，主要表现在时移性质和时域微分性质和时域积分性质1、时移性质x(t)是因果信号时，单边拉普拉斯变换的时移性质与双边拉普拉斯变换一致，即0000stesttuttxttxLLx(t)不是因果信号时，00000000000000dddddtststtsttsttssttettxesexexextettxttxL2、时域微分0d0ddddddd00000xsstetxsxetxtxetxetettxttxststtstststL同理，n阶导数的单边拉普拉斯变换为100ddnkkknnnxsssttxL3、时域积分ttxxx00dddssxsttxesxsttxesx