拉普拉斯变换的基本性质.

拉普拉斯变换的基本性质一．线性性解：例：FsFsFssssssss()()()()()()()121111211212已知ftFss1111()()ftFsss22112()()()()ftft12()()求的拉普拉斯变换Fs()说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。11221211221122()(),()(),,()()()()ftFsftFsKKKftKftKFsKFsLLL若为常数则二．延时（时域平移）00000()()()()edstfttuttfttutttL00()edsttfttt0τtt令00()eedstsτfττ0()estFs证明：000()()()()()estftFsfttuttFsLL若则二．延时（时域平移）000000()()0()()()()()fttutttfttftuttfttut。，，注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质例：已知010()0ttft其余求Fs())()()(0ttututf000()[()][()][()]111(1)ststFsftututteesssLLL因为所以解：二．延时（时域平移）解：4种信号的波形如图例：21020304001()()()()()()()()()()tutsftttftttutfttuttftttutt，，，已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换t10()fttt00tt00t20()()()ftttutt00t30()()fttuttt00t400()()()ftttutt二．延时（时域平移）只有信号可以用延时性质4()ft010022111()stFstttsssL020121()()()()stFsttutFssL040021()()()stFsttuttesL003000000042()()()()()1()ststFstuttttutttutttstFseessLL二．延时（时域平移）二．延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。111()()()()()()()(2)(2)TftftutftutftTutTftTutT21111()()()()1()1TsTsTsFsFsFseFseFse结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以Tse11例：周期冲击序列的拉氏变换为()()Ttut1()()1TTstute22211()111ssFssssπ()2cos()(),()4fttutFs已知求＝。例解：ππ()2coscos2sinsincossin44fttttt已知s)F((ttu(t)f求,1)解：例2()[(1)][(1)(1)(1)]11()sFstuttututessLL二．延时（时域平移）三．尺度变换时移和尺度变换都有:1()()()e(0,0)bsasfatbuatbFabaaL0()()edstfatfattLτat令()0()ed()sτaτfτa()01()edsτafττa1()sFaa证明：()()1()()(0)ftFssfatFaaaLL若则四．s域平移0()e()eed()αtαtstftfttFsαL证明：()()()e()αtftFsftFsαLL若则0220:cos()()sωtutsωL已知0220ecos()()()tsαωtutsαω所以00220:esin()()()tωωtutsαω同理0ecosαtωt例：求的拉氏变换解：五．时域微分定理222d()()(0)(0)d()(0)(0)ftssFsfftsFssffL11()0d()()(0)dnnnnrrnrftsFssftL推广：证明：000()ed()e[()e]d(0)()stststfttftsfttfsFs()()d()()(0)dftFsftsFsftLL若则六．时域积分定理证明：00()d()d()dttfτfτfτ0()dfτ00()dedtstfτt000e1()d()edstttstfτfttss①②①②01()edtstftts01()dfτs()Fss()()ftFsL0()1()d()dtFsfττfτssL若则因为第一项与t无关，是一个常数例：求图示信号的拉普拉斯变换求导得t()ft140211()()(2)(2)(2)(4)22fttututtututd()11()(2)(2)(4)d22ftututututt224221d()1111()(1)d222ssssfteeeFsetsss221211()()(1)2sFsFsess所以解：六．时域积分定理七．s域微分定理d()()dFstftsL常用形式：()()d()()dd()()()dnnnftFsFstftsFstftnsLLL若则取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得00d()d()d()()dddststFsftettftetss即得证。七．s域微分定理fttut()()21例uts()1解：因为所以22232d1221(1)()()dsstuteessssssestu1)1(八．s域积分定理()()edstFsftt两边对s积分：()d[()ed]dtssFftt交换积分次序:()[ed]dtsftt()()()()dsftFsftFtLL1()edtsfttt()edstfttt证明：若则九．初值定理和终值定理0d()()()()dlim()(0)lim()tsftftftFstftfsFs若和拉氏变换存在，且则()Fs为真分式终值存在的条件:0lim()lim()tsftsFsd()(),()()dftftftFstL若的拉氏变换存在，且则初值定理()sFs的所有极点有负实部终值定理初值存在的条件:当t0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项d()()(0)dftsFsftL0d()eddstfttt000d()d()ededddststftfttttt0d()()(0)eddstftsFsftt00d()d()limedlimed0ddststssftfttttt由时域微分定理可知0d()(0)(0)eddstftfftt所以九．初值定理和终值定理初值定理证明：所以0lim()(0)lim()tsftfsFs终值定理证明0d()()(0)eddstftsFsftt000d()lim()(0)limeddstssftsFsftt(0)lim()(0)tfftf根据初值定理证明时得到的公式九．初值定理和终值定理例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值终值Issss()()22Hsss()8101692Vssss()()2101331)2(2lim)(lim)0(ssssssIiss1)(lim)(0ssIis初值终值0169108lim)(lim)0(2sssssHhss0169108lim)(lim)(200sssssHhss注意应用终值定理的条件是满足的。解：九．初值定理和终值定理初值2)1()102(lim)(lim)0(33ssssssVvss()s0()sVsvt因为有两重极点，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即的终值不存在九．初值定理和终值定理例：1:(),(0)?Fsfs已知求0(0)lim()lim()1tsfftsFs解：即单位阶跃信号的初始值为1。十．时域卷积)()()()(2121sFsFtftfL1212()()()()ftftFsFsL112212()()()()(),()ftFsftFsftftLL，，若为有始信号则证明：121200()()()()dedstftftfτftττtL交换积分次序1200()[()ed]dstfτftτtτ120()()edsτfτFsτ12()()FsFs