拉普拉斯变换的数学方法

2019/12/301控制工程理论基础第二章拉普拉斯变换的数学方法2019/12/302提纲2.1复数和复变函数2.2拉氏变换与反拉氏变换的定义2.3典型时间函数的拉氏变换2.4拉氏变换的性质2.5拉氏反变换的数学方法2.6用拉氏变换解常微分方程2019/12/303拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。时域的微分方程复数域的代数方程•系统分析大为简化•直接在频域中研究系统的动态性能拉氏变换2019/12/304引言复数和复变函数（1）复数的概念其中，均为实数。为虚单位。（2）复数的表示法点表示法向量表示法三角函数表示法指数表示法,js,1j,js22rsarctan)sin(cosjrsjressincosjej2019/12/305引言复数和复变函数（3）复变函数的概念为自变量。)()()(sjvsusGs2019/12/306js),(),(vvuujvusG)(例：js2),(1),(22vvuu2)1(1)(222jssG2019/12/307)()()()()(11nmpspszszsKsG当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm为G(s)的零点；当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm为G(s)的极点。2019/12/3082.2拉氏变换与拉氏反变换的定义1、拉氏变换0)()()]([dtetfsFtfLst有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作：L[f(t)]或F(s)，并定义为：(2－1)f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：atMetf)(该条件使得积分绝对值收敛。2019/12/3092.2拉氏变换与拉氏反变换的定义2、拉氏反变换jjstdsesFjsFLtf)(21)]([)(1)]([1sFL已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t)的过程称作拉氏反变换，记作：定义为如下积分：其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。(2－2)2019/12/30102.3典型时间函数的拉氏变换0,10,0)(1ttt1单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数的拉氏变换为：ssedtettLstst10)(1)](1[02019/12/30112.3典型时间函数的拉氏变换0,00,)(ttt)0()()(1)(00fdttftdtt2单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数的重要性质：单位脉冲函数的拉氏变换为：10)()]([0tedtettLstst2019/12/30122.3典型时间函数的拉氏变换0,0,0)(ttttf3单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数的拉氏变换为：22000101)(0][sesdtsedtsesetdttetLststststst2019/12/30132.3典型时间函数的拉氏变换atetf)(4指数函数定义为：指数函数的拉氏变换为：asasedtedteeeLtastasstatat10][)(0)(02019/12/30142.3典型时间函数的拉氏变换)(21sintjtjeejt5正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：220sin][sinsdtettLst)(21costjtjeet6余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：220cos][cosssdtettLst2019/12/30152.3典型时间函数的拉氏变换7幂函数（作业）其拉氏变换为：10!][nstnnsndtettL例：3322!2][sstL常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。2019/12/30162.4拉氏变换的性质1.线性性质－线性变换)()()]([)]([)]()([221122112211sFKsFKtfLKtfLKtfKtfKL(2-3)2019/12/30172.4拉氏变换的性质atatf,0)(2.实数域的位移定理－延时定理(2-4)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：)()]([sFeatfLas2019/12/3018例2.3图2－10所示方波的拉氏变换。)(11)(11)()()(11TtTtTTtftftf)1(111)]([sTsTeTseTsTstfL图示方波函数表达为：利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：2019/12/3019例2.4求图2－11所示三角波的拉氏变换。)(4)2(4)2(44)()2()2()()(22221111TtTTtTTtTtTTtfTtfTtftftf)21(44444)]([)(2222222222222sTTssTTsTseesTesTesTesTsTtfLsF图示三角波函数表达为：利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：2019/12/3020-01[()]()1TstsTLftftedte2.4拉氏变换的性质3.周期函数的拉氏变换设f(t)是以T为周期的周期函数，即：()()ftnTft则f(t)的拉氏变换为：2019/12/3021()(),([()]()26atftFsaLeftFsa若的拉氏变换为则对任一常数实数或复数），都有（－）2.4拉氏变换的性质4.复数域位移定理(也称衰减定理)22221[sin][cos]()()![]()atatatnnsaLetLetsasanLetsa复数域位移定理的应用：2019/12/3022,1[()]()(2-7)asLfatFaa对于任意常数有2.4拉氏变换的性质5.相似定理（也称尺度定理）2019/12/3023()()'()['()]()(0)28(0)()ftFsftLftsFsffft若时间函数的拉氏变换为，且其一阶导数存在，那么（－）其中是时间正向趋近于零时的值。2.4拉氏变换的性质6.微分定理0()()()[()]tftFsFsLftdts假设的拉氏变换，则7.积分定理2019/12/3024Back8终值定理原函数f(t)的稳态性质sF(s)在s=0邻域内的性质2019/12/3025Back9初值定理2019/12/3026[()](),()[()]()(2-17)LftFstftdLtftFsds若则函数的拉氏变换为2.4拉氏变换的性质10.tf(t)的拉氏变换[()](),()/()[]()(2-18)sLftFsfttftLFsdst若则函数的拉氏变换为11.f(t)/t的拉氏变换2019/12/30270[()()]()()tLftgdFsGs2.4拉氏变换的性质12.卷积定理0()()()()tftgdftgt函数f(t)和g(t)的卷积定义为：拉氏变换的卷积定理：若函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时，f(t)=g(t)=02019/12/30281.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。)]([1sFL)0()(21)]([)(1tdsesFjsFLtfjCjCst2.5拉氏反变换的数学方法2019/12/30292.5拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法有：(1)查表法－简单象函数；(2)有理函数法－需要复变函数的留数定理；(3)部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数；(4)利用MATLAB求解。2019/12/3030若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1))((1)(则tetsFLtfssssssF1)]([)(1111)1(1)(122)1(1)(2sssF2019/12/30311.部分分式法求原函数12121212,:(-)(-)...(-)()(2-22)(-)(-)...(-)/;,,...,,,...,,()mnmmnmnmKszszszFsspspspKbapppzzzFs如果则式中：和分别式的极点和零点，均为实数或共轭复数。110110...()()(2-21)()...:(1,2,...,),(1,2,...,)mmmmnnnnijbsbsbBsFsAsasasaainbjmnm其中为实数，且。2019/12/303212121,(-)(-)...(-)()(-)(-)...(-)1()2()mnnmKszszszFsspspspFsFsrp本节学习即表达成如下形式的象函数的拉氏反变换方法：根据象函数的极点形式，分两种情况进行讨论：、无重极点的情况；、有个重极点，其余极点各不相同的情况；2019/12/3033121212()()(-)()()()...(2-24)()---,,...,(1,2,...,)(2-25)((1)'()()0'))()(iiiispiinnnisKKKBsFsAsspspspKKKindAspAsFsBpBsKspAsApdAps无重极点的情况下，F(s)必定可展开成部分分式之和，即：其中，为待定系数。式中，为的无重极点根，ip。-11()()[()](2-27)'()inptiiiBpftLFseAp2019/12/303423212321232121455512-6()21222121()0,-1-2-32'()'()()'()62422'()4'()2'()43'()()145551()10()-3(iissFssssAspppAsApdAsAsssApApApdsBpBsssBpBpB例求的拉氏反变换。令求解极点：，，；求，计算：，，计算；，，3123-1-1-1-1---3)12()4'()2.51.5352.51.53()[()][][][]2.51.53123iiitttpBpKApKKKftLFsLLLeeesss计算各分式待定系数：；；；；拉氏反变换：()'()iiiBpKAp2019/12/303531241121()20(1)(3)27().()(1)(1-)(2)(4)(),11-24()20()(2)[(1)]43()(2)(1)(3)()20()(2)[(1-)]()(2)sjsjBsssFsAssjsjssKKKKFssjsjssBsjjKsjjAsjjjBsjjKsjAsj例－求拉氏反变换解：则32441-(1)(-143(1)(3)()20(1)1[(2)]5()(1)(