拉格朗日插值

拉格朗日插值绘制龙格现象一、问题叙述龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。二、理论分析1.拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点01nxxx，已知函数值0011(x),y(),,()nnyffxyfx求n次多项式()nLx使其满足插值条件()(j0,1,,)jjfxyn类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl每一个基函数都是零点多项式1(),(0,1)0kjjklxjnjk()nLx满足插值条件L()()(j0,1,,)njjxfxn拉格朗日插值基函数：0()()()njkjkjjkxxlxxx拉格朗日插值多项式：0()ynnjjjLlx2.切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为()cos(arccos),(0,1,),x[1,1]nTxnxn若令arccosx，则有cosnTn。由余弦函数性质，有cos(1)cos(1)2coscosnnn所以有递推关系1()1()2(),(1,2)nnxnTxxTTxn，又有011,TTx，所以n阶切比雪夫多项式零点为21cos,(0,1,,1)2kkxknn。3.Hermite插值如果f(x)在区间[a,b]上连续可导，01,,xxL[,]nxab是互异的，那么存在唯一的多项式21()nHx满足多项式在这些点上的值与函数f(x)的值相等、多项式在这些点的一阶导数值与函数的一阶导数值相等。这个多项式可以表示为221020()()[12()'()()'()()()nniiiiiniiiHxfxxxlxlxfxxxlx其中0()(),0,1,,()njijkjjkxxlxiLnxx01'(),0,1,,nijijjklxiLnxx三、算法MATLAB实现（1）拉格朗日插值描绘龙格现象，代码如下：functionf=Language(x,y,x0)symstl;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y维数不相等');return;endh=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y(i));for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;h=h+l;endsimplify(h);if(nargin==3)f=subs(h,'t',x0);elsef=collect(h);f=vpa(f,6);end主程序x1=-5:1:5;x2=-5:2:5;x3=-5:2/3:5;y11=1./(1+x1.^2);%10次拉格朗日插值y12=1./(1+x2.^2);%5次拉格朗日插值y13=1./(1+x3.^2);%15次拉格朗日插值x0=-5:0.001:5;%调用拉格朗日函数y1=Language(x1,y11,x0);y2=Language(x2,y12,x0);y3=Language(x3,y13,x0);y0=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0);holdonplot(x0,y2,'r');holdonplot(x0,y1,'k');holdonplot(x0,y3,'g');holdonxlabel('x');ylabel('y');title('原函数f(x)=1/(1+x^2)等距拉格朗日插值');legend('原函数','5次拉格朗日插值','10次拉格朗日插值','15次拉格朗日插值');gridon插值效果如下：图1等距拉格朗日插值图1分别进行5次、10次、15次拉格朗日插值，可以看出5次插值拟合效果不是很好，10次插值在插值区间的边界处出现很大波动，明显偏离原函数，15次插值看到波动情况加强，故得出结论：拉格朗日插值次数不宜过高。高次插值边界出现这种波动现象叫做龙格现象。为避免上述现象，分别采用切比雪夫插值，埃米特插值和样条插值来避免龙格现象（2）切比雪夫插值：用切比雪夫多项式零点代替等距结点，其他基本不变x1=-5:1:5;y11=1./(1+x1.^2);x0=-5:0.001:5;y1=Language(x1,y11,x0);y0=1./(1+x0.^2);k=0:1:10;xx=5*cos((2*k+1)*pi/22);%用切比雪夫多项式零点代替等距结点yy=1./(1+xx.^2);y4=Language(xx,yy,x0);plot(x0,y0,'k');holdonplot(x0,y1,'r');holdonplot(x0,y4,'b',xx,yy,'ob');插值效果如下：图2切比雪夫插值由图2可以看出10次切比雪夫插值很好的和原函数拟合，并且波动较小，说明伪振荡现象得到控制。（3）样条插值：样条插值直接采用MATLAB插值函数spline()，代码如下：x=-5:1:5;y=1./(1+x.^2);xx=-5:0.01:5;yy=spline(x,y,xx);%使用样条插值方法x0=-5:0.001:5;y0=1./(1+x0.^2);plot(x,y,'ok',xx,yy,'r',x0,y0,'b');插值效果如下：图3样条插值由图3可以看出样条插值拟合效果最好，与原函数基本一致，但样条插值处理1/（1+25*x^2）函数时，还是有波动的，故不能完全说明样条是最好的插值方式（4）Hermite插值：根据埃米特插值表达式写出代码如下：functionyy=Hermite(x,y,dy,xx)n=length(y);m=length(x);l=length(dy);k=length(xx);ifm~=n,error('向量长度不一致');end;ifn~=l,error('向量长度不一致');end;z=zeros(1,k);forj=1:ks=0;fort=1:m;a=0;b=1;fori=1:n;ifx(t)~=x(i)a=a+1/(x(t)-x(i));b=b*((xx(j)-x(i))/(x(t)-x(i)));endends=s+(y(t)*(1-2*(xx(j)-x(t))*a)*b^2+dy(t)*(xx(j)-x(t))*b^2);endz(j)=s;endyy=z;插值效果如下：图4Hermite插值由图4可以看出，10个Hermite插值结点在区间内与原函数拟合程度非常好，基本能解决伪振荡现象。综上所述可以得出结论：等距拉格朗日插值会产生伪振荡现象，插值次数不宜过高，切比雪夫插值，埃米特插值，样条插值可以很好的解决龙格函数的伪振荡现象。