拓扑学江辉有遍第三章第四章参考答案

拓扑学第二次作业参考解答3.1证明：（1）（2）设AX为任一子集，对于()yfA，必xA使得().fxy于是()VNy，由f的连续性，1()()fVNx，再由xA知1().fVA即1()xfVA，从而()()fxVfA，即().VfA由的任意性，()yfA，因此()().fAfA（2）（3）设BY为任一子集，记1()AfB，则由（2）知，()()fAfA，即1(())AffA，即有1111()((()))().fBAfffBfB可见（3）真。（3）（4）设BY为任一子集，由命题2.5知，()ccBB，于是由（3）得111111()(())[()][()][(())](()).ccccccccfBfBfBfBfBfB（4）（1）对于Y的任一开集V，由假设（4），有1111()()(())()fVfVfVfV，可见11()(())fVfV，即1()fV是开集。因此f是连续映射。■3.3证明：(1)(2)：设f是开映射，则对任一AX，由于A是开集，故()fA也是开集，进而由()()fAfA可知，()().fAfA(2)(3)：BY，记1()AfB，则由（2）知，()[()].fAfA且又有1()()fAffBB，因此().fAB于是，111[()]()().fBAffAfB(3)(4)BY，记CYB，则在(3)中以C取代B可得：1111111()()()(())(())(())()XfBfYBfCfCfYBXfBXfB可见11()().fBfB(4)(3)BY，记CYB，则在(4)中以C取代B可得：11111(())(())(())()()()()fBfYCXfCXfCXfCfYCfB即11[()]().fBfB(3)(1)：设A是X的任一开集，记().BfA则由（3）知，有11([()])(())[()].ffBffBBfA另一方面，又有11([()])([(())])()().ffBfffAfAfA因此有()[()]()fAfAfA，从而()[()]fAfA，因此()fA是开集。故f是开映射。■3.4证明：（1）设映射:fZX连续，则,0zZ，((),)Bfz是度量空间X中的开集，由于f的连续性，1(((),))fBfz是空间Z的开子集。令1(((),))UfBfz，则显然()UNz，并且,((),()).zUdfzfz反过来，如果,0,()zZUNz使得,((),())zUdfzfz，则对于度量空间X中的任一开集V，1()zfV，()fzV，因此存在0使得((),).BfzV由假设，()UNz使得,((),())zUdfzfz，即有()((),).fUBfzV可见1().zUfV这表明z是1()fV的内点。由z的任意性即知，1()fV是开集，故f是连续的。（2）设映射:fXZ连续，则对Z的任一非空开集U，1()fU是度量空间X中的开集，因此对于任一1()xfU，存在0使得1(,))()BxfU，即((,)).fBxU反之，设对Z的任一非空开集U及任一1()xfU，存在0使得((,))fBxU，即1(,))().BxfU可见1()fU是开集。因此映射映射:fXZ连续。（3）设映射:fXY连续，则,0xX，((),)Bfx是Y中开集，因此由f的连续性知，1(((),))()fBfxNx，因此存在正数0使得1(,)(((),))BxfBfx，即有((,))((),).fBxBfx反过来，若,0,0xX使得((,))((),).fBxBfx则对于Y中任一开集V，以及任一1()xfV，存在正数0使得((),).BfxV由假设，0使得((,))((),).fBxBfx从而11(,)(((),))().BxfBfxfV可见x是1()fV的内点。由x的任意性知，1()fV是X的开集，因此f是连续的。■3.5证明下列几个空间相互同胚：（1）单孔平面21Xo；（2）圆柱面3222(,,):1Xxyzxy；（3）单叶双曲面32223(,,):1.Xxyzxyz证明：我们先建立1X与2X之间的同胚。总体思路是把xoy平面上从原点出发的一条开射线映为圆柱面上过该射线与圆柱面的交点且平行于z轴的一条母线，如图3-1所示。具体写出来，对应的同胚映射是这样的：221222221:,(,)(,,ln()).2xyfXXfxyxyxyxy1121:,(,,)(,).zzfXXfxyzxeye图3-1f保持单位圆周上的点不动，而把位于单位圆周内的射线映为位于xoy平面下方的母线，把位于单位圆周外的射线映为位于xoy平面上方的母线。这显然是一个同胚。下面我们再来建立3X与2X之间的同胚。这个同胚的构造是很直观的，就是让从z轴出发并且与z轴垂直的一条射线与两个曲面的对应点相互对应，即得到所需的同胚映射，如图3-2所示。具体地写出来，就是如下定义的两个互逆的映射g与1.g其中23:gXX和132:gXX的定义如下：2223:,(,,)(1,1,)gXXgxyzxzyzz113222:,(,,)(,,).11xygXXgxyzzzz可见，123,,XXX三个空间是相互同胚的。■3.6证明：（1）作函数11:,()hhxax，则在分析学中我们已经知道，h是连续的，故复合函数afhf也是连续的。（2）作函数11:,()kkxx，则在分析学中我们已经知道，k是连续的，故复合函数fkf也是连续的。（3）作函数2:,()((),())HXHxfxgx，我们先证明H是个连续函数。设xX，对于0，由于,fg是两个连续函数，故存在()UNx使得,()()2yUgygx；同时，存在()VNx使得,()().2yUfyx令WUV，则()WNx，并且yW，有2222()()(()())(()()).22HyHxfyfxgygx可见H在x处连续。由x的任意性知，H是连续函数。此外，我们在分析中已经知道，函数21:,(,)GGxyxy及21:,(,)FFxyxy都是连续的，因此复合函数,fgFHfgGH都是连续函数。（4）由于二元函数21:,(,)IIxyxy是连续的，故借用（3）中的H可知，复合函数fgIH也是连续的。（5）由于函数111:0,()JJxx是连续的，故复合函数1Jgg也是连续的。（6）由于11max,(),min,()22fgfgfgfgfgfg，因此由（1）、（2）、（3）可知，max,,min,fgfg都是连续函数。■3.7证明：我们先证明，,,(,)(,)(,).xyXdxAdyAdxy事实上，zA，由三角不等式得：(,)(,)(,)inf(,):(,).dxydyzdxzdxttAdxA因此由z的任意性，有(,)inf(,):(,)dxydyzzAdxA，即(,)(,)(,)dxydyAdxA，因此,,(,)(,)(,).xyXdxAdyAdxy由对称性，也有,,(,)(,)(,).xyXdyAdxAdxy从而,,(,)(,)(,)xyXdxAdyAdxy，即()()(,).fxfydxy于是，0,,(,)XxXyBx，都有()()(,)fxfydxy，即1()((),).fyBfx这表明1((,))((),).XfBxBfx因此f是连续的。■4.4.证明：（1）首先，由,AABB知ABAB，又由于()AB是开集，故().ABAB反过来，(,)()xyAB，则存在((,))WNxy使得.WAB于是(),()UNxVNy使得.UVWAB可见,.xUAyVB这表明,,(,).xAyBxyAB故又有().ABAB因此，().ABAB一般地说，若(1,2,,)iiAXin，则有1212().nnAAAAAA（2）若(,)()xyAB，则存在()UNx及()VNy使得()((,))UVABxy，从而()()(,).UAVBxy如果xUA，则VBy，此时有两种情形：要么VB，则yB，因此(,)xyABAB；要么VBy，此时必有UAx，从而()UAx，同时又有()VBy，因此xA且yB，故有(,).xyABAB如果xUA，则或者UA，或者VB，因此或者xA，或者yB，故总有(,).xyABAB这表明，().ABABAB反过来，若(,)xyABAB，则(,)xyAB且(,).xyAB此时必有下面四种情形之一发生：要么xA；要么yB；要么xAA，但yB；要么yBB，但.xA我们分别讨论如下：若xA，则存在()UNx使得UA，而((,))UYNxy，并且()()UYAB，因此(,)().xyAB若yB，则存在()VNy使得VB，而((,))XVNxy，并且()()XVAB，因此也有(,)().xyAB若xAA，则必有yB，此时存在()UNx及()VNy使得,UAxVBy，从而((,))UVNxy，并且()((,))UVABxy，可见也有(,)().xyAB若yBB，则必有xA，此时存在()UNx及()VNy使得,UAxVBy，从而((,))UVNxy，并且()((,))UVABxy，可见也有(,)().xyAB因此总有(,)()xyAB成立，这表明().ABABAB可见().ABABAB一般地说，一般地说，若(1,2,,)iiAXin，则有12121212().nnnnAAAAAAAAAAAA（3）利用习题2.16的结论，有：()()()()()()().FrABABABABABFrAAFrBBABFrAFrBFrABAFrBABABFRAAFrBFrAFrBBAFrBFrAB一般地说，一般地说，若(1,2,,)iiAXin，则有12121212().nnnnFrAAAFrAAAAFrAAAAFrA■4.6.证明：设,XY都是可分空间，则X与Y分别有可数的稠密子集A和.B显然AB也是可数集，因此我们只需证明AB是XY的稠密子集即可。设W是XY的任一非空开集，任取(,)xyW，则存在(),()UNxVNy使得.UVW于是由A和B的稠密性知，,.UAVB任取,xUAyVB，则(,)()()()()().xyUAVBUVABWAB可见().WAB由W的任意性即知，AB是XY的稠密子集。■4.7.证明：设1和2分别为拓扑空间X和Y的局部有限子集族，(,)x