控制理论考试

一、简答（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路？答：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是若0nb，则通过长除法，传递函数)(sG总可以转化成将分解成等效的两个特殊环节的串联：可得一个状态空间实现串联法其思想是将一个n阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。并联法其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联关系给出原来传递函数的状态空间实现。（2）状态转移矩阵的意义是什么？简述状态转移矩阵的任意两个性质。答：意义：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻状态矢量0(t)x求得任意时刻t的状态矢量(t)x。性质一：tt或AtAtAeee性质二：ttI或AtteI性质三：1tt或1AtAtee性质四：tAttA或AtAtAtdeAeeAdt性质五：对于nn方阵A和B，当且仅当ABBA时，有ABtAtBteee；而当ABBA时，ABtAtBteee（3）简述对偶系统的定义及对偶原理。答：对偶系统的定义：若给定的两个线性定常连续系统'xAxBuyCx，'xAxBuyCx满足下列关系：TAA，TBC，TCB则称系统,,CAB和,,CAB互为对偶。对偶原理：系统,,CAB和,,CAB是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的（完全能观的），则是完全能观的（完全能控的）。（4）介绍两种求解线性定常连续系统状态转移矩阵的方法。答：1.幂级数法设xAx的解是t的向量幂级数2012kkxtbbtbtbt式中，012,,,,,,kxbbbb都是n维列向量，则12120122kkkkxtbbtkbtAbbtbtbt21020011,,,,2!kkbAbbAbbAbk，且00xb，故2201110002!!kkkkAtkxtIAtAtAtxAtxexkk2201112!!AtkkkkkeIAtAtAtAtkkAte——状态转移矩阵，记为：Atet2.拉普拉斯变换法0sxsAxsx,0sIAxsx10xssIAx,110xtLsIAx11AteLsIA（5）什么是系统的能控性？简述判断线性定常连续系统能控性的两种方法。答：如果存在一个分段连续的输入ut，能在有限时间区间0,ftt内，是系统由某一初始状态0xt转移到任一终端状态fxt，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是完全能控的，或简称系统是能控的。线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型,AB，再根据B阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。（6）什么是系统的能观性？简述判断线性定常连续系统能观性的两种方法。答：如果对任意给定的输入u，在有限观测时间0ftt,使得根据0,ftt期间的输出yt能唯一地确定系统在初始时刻的状态0xt，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。定常系统能观性的判别有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。yy（7）对一个由状态空间模型描述的系统，能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？简述一种极点配置状态反馈制器的设计方法。答：采用状态反馈对系统0,,ABC任意配置极点的充要条件是0完全能控。极点配置状态反馈制器的设计方法找不到。。。（8）利用李雅普诺夫第二法判断线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？答：充分必要条件为：对任意给定的对称正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程TAPPAQ有唯一的对称正定解P。二、判断（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（×）2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（√）4.对系统Axx，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。（√）5.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（√）7.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；（×）8.若传递函数BAsICsG1)()(存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；（×）9.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（√）10.状态反馈不改变系统的能控性。（×）11.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统；（×）12.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上；（×）13.若传递函数BAsICsG1)()(存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；（√）14.若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；（√）15.若线性二次型最优控制问题有解，则可以得到一个稳定化状态反馈控制器。（×）16.互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。（×）17.一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。（√）18.若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。（×）19.反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。（×）20.如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。（√）21.相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。（√）22.传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。（×）23.状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。（×）24.输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。（√）25.等价的状态空间模型具有相同的传递函数。三、计算分析1、已知系统的传递函数为)5)(3(52)(ssssG（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答:（1）将G(s)写成以下形式：55231)(ssssG这相当于两个环节31s和552ss串连，它们的状态空间模型分别为：11113xyuxx和1212255uxyuxx由于11uy，故可得给定传递函数的状态空间实现是：将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为：串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G(s)写成以下形式：它可以看成是两个环节35.0s和55.2s的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：和由此可得原传递函数的状态空间实现：进一步写成状态向量的形式，可得：对应的状态变量图为：并连分解所得状态空间实现的状态变量图2、已知系统的微分方程如下，写出其状态空间表达式64176yyyyu解：(1)选择状态变量123,,666yyyxxx注意：状态变量可以任意选取，状态变量选取的不一样，就会导致状态空间表达式不一样。(2)写出微分方程组122331236674166yxxyxxyxxxxu(3)写出状态空间表达式1122331230100001074161[600]xxxxuxxxyxx3、试建立图示电路的状态空间表达式。解根据基尔霍夫定律列写回路、节点电压、电流方程为：2222221111iRydtduciidtdiLiRuudtdiLiRuc21cc设状态变量cuxxix32211i213322222131`1111111)(11xCxCxxLxLRxtuLxLxLRx状态空间表达式uLxxxCCLLRLLRxxx00101110101321222111321321200xxxRy4、试建立图示系统的状态空间表达式。解根据牛顿第二定律，列写出：22222212122121112111dtydmykdt)yd(yfFdtydmykdt)yd(yfF1Ry2R1LuC2Lcu1i2i__1k2F2k1F1y2y1f2m1m2222221121221211121111dtydmykdtdyfdtdyfFdtydmykdtdyfdtdyfF设状态变量dtdyxdtdyxyxyx24132211224213212224114113111113423111FmxmfxmfxmkxFmxmfxmfxmkxxxxx状态空间表达式Fxx21212122111111m100m100000010000100mfmfmkmfmfmkxy001000015、已知0123A，求Ate。此题解法非常多，此处仅给出课文中常用的三种方法。解法一：根据Ate的定义直接计算22112!!AtnneIAtAtAtn232323232323100101010101232323232!3!371267752313322Atttettttttttttttt解法二：变换A为约旦标准型求特征值1(1)(2)033IA解得1122求的变换阵2122T111211T122222121102220112222tAttttttttttteeTeTeeeeeeeee解法三：拉氏反变换方法123ssIAs121111212()22121212sssssIAssss2211222[()]222ttttAttttteeeeeLsIAeeee6、考虑由下式确定的系统：233)(2ssssG,试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型。解：能控标准形为21212113103210xxyuxxxx能观测标准形为