李歆雨_三角形内心坐标简化计算的探讨

三角形内心坐标简化计算的探讨山东省菏泽市菏泽一中高一28班李歆雨指导老师：李道建摘要直角坐标平面中，求三条直线围成的三角形的内心坐标，用斜率的正负关系来判断内角平分线去绝对值取正负号，其结论如下，如果m1m20，L1L2的内角平分线去绝对值取负号。如果m1m20，则L1L2的内角平分线去绝对值取正号。如果m2m30，则L2L3的内角平分线要去绝对值取负号。如果m2m30，则L2L3的内角平分线要去绝对值取正号。据此用解方程组的方法求出交点坐标，也就是内心坐标。关键词：内心坐标斜率一前言求内心坐标问题三直线L1：3x+4y-12=0L2：3x-4y-12=0L3：4x+3y+12=0围成一三角形，求三角形内心坐标求三直线y-2=0,2x+y=0,x+2y=0所围成的三角形的内心坐标直角坐标平面中，如果要求三条直线围成的三角形的内心，通常有两种方法，一是根据内心到两条边的距离相等，组成方程组求内心坐标，二是先求出两条内角平分线，再求出两线的交点坐标，即为内心坐标。无论用何种方法解题都要进行方程组的所有四种组合求解，然后根据图形取舍，舍去不符合题意的三个坐标。如果在解题前能判断内心所在角平分线的区域位置，通过两相交直线的区域不同来确定三角形角平分线的唯一性，那么只要解一组方程组即可求出内心坐标。然而这个过程通常还需在直角坐标平面上画出三条直线来判断。如果不依赖直角坐标系图形来判断，解题过程就会得到进一步简化。二研究目的简化内心坐标判定，由三直线的组成的方程组直接求出三角形的内心。三研究过程与方法（一）两相交直线的区域不同确定三角形内角平分线的唯一性1.两直线交角的平分线问题以平面上过(0,0)的两条直线1L,2L为例：1:0Laxby2:0Lcxdy由于角平分线是到1L,2L距离相等的点的轨迹，所以角平分在线的点(,)xy满足2222axbycxdyabcd把绝对值打开2222axbycxdyabcd(1)(1)式代表两条直线，它们都是1L,2L交角的角平分线，这是因为1L和2L的交角有两个，彼此互补，如图一：M和N都是角平分线，易见M和N垂直。上面这个方法非常简洁，但是却不容易分辨(1)中哪个方程式是M，哪个方程式是N。那么对于已知两直线0:1111cybxaL，0:2222cybxaL，则两直线1L、2L的交角平分线方程式为22222222121111bacybxabacybxa，即22222222121111bacybxabacybxa若要求指定角角平分线，则必须先判断那个夹角是指定角以及绝对值内的正负号。2.两直线指定交角的平分线图示及绝对值内的正负号判定若00:acbyaxL，则平面分成三个部分，即直线L、A（右侧半平面）、B（左侧半平面）：（1）直线上之任一点满足0cbyax。（2）右侧半平面之任一点满足0cbyax。（3）左侧半平面之任一点满足0cbyax。2.若00:bcbyL，则平面的三个部分（L、A、B）如上图：0cbyaxB（左侧半平面）A（右侧半平面）Oxy00:acbyaxL0cbyax0cbyB（上方半平面）Oxy0cbyA（下方半平面）00:bcbyL那么对于下图L1和L2交角的平分线有L4与L5两条，符合题意的为L4，去绝对值内取负号。进一步观察同为L1和L2交角的平分线，L4位于L1A侧区L2的B侧区，即AB不同区，而L5位于L1、L2的B侧区，为相同区。据此可确定三角形内角平分线为L4，那么它和两直线的斜率有和内在的联系，以下做进一步的探讨。（二）依据斜率的正负关系判断内角平分线1、直线的斜角、斜率、与图形的关系斜角的范围：20202斜率的正负：m0m0m=0没有斜率(m不存在)2、条件：直线L1的方程式为a1x+b1y=c1斜率为m1，直线L2的方程式为a2x+b2y=c2斜率为m2直线L3的方程式为a3x+b3y=c3斜率为m3，其中m1＞m2＞m3，且a1≥0a1≥0a1≥0。3．三条直线围成三角形的可能状况：（1）m1(＋)，m2(＋)，m3(＋)或m1(－)，m2(－)，m3(－)由上图(一)可以看出如果作L1，L2的内角平分线则须视为AB不同区，作L2，L3的内角平分线则同样视为AB不同区。如果将L1移至P点的另一侧，则L1会从B侧变为A侧，L2会从A侧变为B侧，L3会从B侧变为A侧，见上图(二)。这样的结果和(图一)的情形只是符号相反，但结论却是一致的。所以，在以后列出的其他可能图形中将不讨论另一侧的情况。由以上的结果提出以下的假设：如果L1，L2的斜率为同号(＋、＋或－、－)，则内角平分线取AB不同区，反之，若L1，L2的斜率为异号(＋、－)，则内角平分线取A或B相同区；如果L2，L3的斜率为同号(＋、＋或－、－)则内角平分线取AB不同区，反之，L2、L3的斜率为异号(＋、－)，则角平分线取A或B相同区。以下对三条直线围成三角形的其他可能状况进行验证。（2）m1(＋)，m2(＋)，m3(－)（3）m1(＋)，m2(－)，m3(－)图一图二m1(＋)取A侧m2(＋)取B侧AB不同区A或B相同区m3(－)取B侧（4）如果有一条与x轴平行的直线，虽其斜率为0，将此与x轴平行的直线的斜率视为（－），三条直线斜率中最小，讨论如下。①m1(＋)，m2(＋)，m3(0，但视为－)②m1(＋)，m2(0，但视为－)，m3(－)③m1(0，但视为－)，m2(－)，m3(－)m1(＋)取B侧m2(－)取B侧m3(－)取A侧A或B相同区异AB不同区m1(＋)取A侧m2(＋)取B侧m3(－)取B侧异AB不同区A或B相同区m1(＋)取B侧m2(－)取B侧m3(－)取A侧异AB不同区A或B相同区（5）如果有一条与y轴平行的直线，虽然其斜率不存在，但是若我们将此与y轴平行的直线的斜率视为（＋），而且视为三条直线斜率中最大，讨论如下。①m1(不存在，但视为＋，且为最大)，m2(＋)，m3(＋)②m1(不存在，但视为＋，且为最大)，m2(＋)，m3(－)③m1(不存在，但视为＋，且为最大)，m2(－)，m3(－)m1(－)取A侧m2(－)取A侧m3(－)取B侧异AB不同区异AB不同区m1(＋)取A侧m2(＋)取B侧m3(＋)取A侧异AB不同区异AB不同区m1(＋)取A侧m2(＋)取B侧m3(－)取B侧异AB不同区A或B相同区（6）一条与y轴平行的直线与一条与x轴平行的直线的情况。同样的，我们将此与y轴平行的直线的斜率视为（＋），而与x轴平行的直线的斜率视为（－）。与y轴平行的直线视为三条直线斜率中最大，而与x轴平行的直线的斜率视为最小。①m1(不存在，但视为＋，且为最大)，m2(＋)，m3(0，但视为－)②m1(不存在，但视为＋，且为最大)，m2(0，但视为－)，m3(－)m1(＋)取B侧m2(－)取B侧m3(－)取A侧A或B相同区异AB不同区m1(＋)取A侧m2(＋)取B侧m3(－)取B侧异AB不同区A或B相同区m1(＋)取B侧m2(－)取B侧m3(－)取A侧A或B相同区异AB不同区四研究结果直角坐标平面上，三条直线0:1111cybxaL0:2222cybxaL0:3333cybxaL斜率分别为m1、m2、m3，且a1≥0a1≥0a1≥0。若此三条直线围成三角形，假设m1＞m2＞m3，在求三角形的内心过程中，如利用三角形中任两条内角平分线的交点的方法。例如两直线0:1111cybxaL，0:3333cybxaL，其交角平分线方程式为22222222121111bacybxabacybxa去掉绝对值则为22222222121111bacybxabacybxa22222222121111bacybxabacybxa上面两个式子通常是用做图来判断内角平分线。经过存在的所有的情况讨论后发现，如果不作图而只是用斜率的正负关系，也可以判断内角平分线是(1)还是(2)。在x轴平行线的斜率视为（－），与y轴平行的直线的斜率视为（＋）不严谨的特殊对待下，结论如下。如果m1m20，L1L2的内角平分线为(2)，去绝对值取负号。如果m1m20，则L1L2的内角平分线为(1)，去绝对值取正号。同理如果m2m30，则L2L3的内角平分线要去绝对值取负号。如果m2m30，则L2L3的内角平分线要去绝对值取正号。据此用解方程组的方法求出交点坐标，也就是内心坐标。参考文献[1]中学数学课程教材研究开发中心．数学必修一．北京：人民教育出版社．２００７．（1）（2）