李洪例题详解还原问题

李洪例题详解：还原问题……有一位老人说：把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。这位老人有多少岁呢？解这个题目要从所叙述的最后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是（100÷10＋15）×4-12＝88（岁）。从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？分析：这个问题是由（□×4-46）÷3-10＝4，求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。答：这个数是22。例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的和是123。问：正确的结果应是多少？分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。解：123-4＋50＝169。答：正确的结果应是169。例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。答：乐乐最初拿了28棵树苗。例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30＋3＝33（本），乙组有30-3＋5＝32（本），丙组有30-5＝25（本）。例题详解方阵问题解析方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。为我找做题病因的冯春海老师作者：Tony从幼儿园会叫老师开始算起，教过我的老师还真不少。在我的脑海中，老师的脸总是绷得紧紧的，除了倦意之外，很难找到笑意。但在一年前，我偶然进入学而思学校学习认识了冯春海老师之后，我的想法开始慢慢转变了。冯老师很年轻，中等身材，在鼻梁上架着一副眼镜，给人的感觉就像一个邻家大哥哥。他总是带着一脸微笑走进课堂，让我倍感温暖。冯老师教我数学，在课堂上，他没有居高临下的声势，他时常会走向讲台，关心学生的状况，课堂成了我们共同学习、共同交流的场所。以前的我不被别人注意，性格也很内向，不爱说话，每当有老师提问我时，我总是慢吞吞地站起来，微微抬起头，吞吞吐吐的挤出一些不连贯的语句，脸早已涨的通红，眼神里充满了不安，生怕回答错，生怕再众人面前出丑。冯老师抓住了我这个弱点，经常提问我，从简单的到有一点小转弯的。现在的我一点点开始变得自信了。也许是因为初中数学比小学数学灵活，概念和题型多，再也没办法像以前那样，在课堂上马上就掌握所有的变化及方法。在接连几次的考试失败之后，冯老师帮我找病因，原来概念的迷糊导致了我判断和填空题的大量失分，知识点的孤立，没有融会贯通，导致了综合题上答题不完整。冯老师的课被安排在下午，他总趁我们疲惫、心不在焉时，说一些有趣的事或话题，来提高我们的学习精神，使我们在快乐的情况下进入数学天地，久而久之，我不再害怕数学，反而爱上了它。一代宗师华罗庚，一代名家陈景润，他们撷取了数学皇冠上的明珠，虽然跟他们自身努力分不开，但我觉得良师的启蒙和善诱，更加不可少。许多人把老师比作春雨，比作春蚕。但我想把冯春海老师比作大海，我们就是遨游在海洋里的小鱼，海平静的时候就像你给的包容；还泛起涟漪的时候就像你给的信任；海澎湃的时候就像你给的鼓励……我爱你大海！你就是我心目中的老师！教学特点：成康达老师已有六年的执教经验，教学成果显著，成老师的专业为数学教育，所以从大学时代开始，就已接触数学思维训练。他所带班级的学生多次获杯赛市级一、二等奖。讲解细致注重思维的培养因材施教成康达老师对学生因材施教，课堂讲解游刃有余，做到详略得当把复杂的东西简单化；有耐心，讲解细致，大处着眼小处着手；注重学生数学的思想和方法的培养，进而形成解题策略，给予学生即时的表扬和鼓励，及时肯定学生的点滴进步！成老师看数学：数学是很美的，他需要你去发现与探索；学习数学其实是一种享受，树立战胜困难的决心；知识是死的，但方法是活的；学习要活学活用，而不要生搬硬套；数学知识点就像小零件，相关的工具就是它的方法，知识重在积累；数学知识应放入一个大机器中去理解记忆，才能做到提纲挈领纲。原创文章：对学生认真负责，严格要求。讲课生动幽默，简明易懂，注重训练学生的解题思路，学习习惯的培养。在讲课的同时，成老师还注重课堂气氛的调节。他经常在课堂上加一些趣味性知识，使学生能够集中注意力，既活跃了课堂气氛，又很好的把握了课堂纪律，经过成老师辅导的学生进步都非常快。成老师深信，只有教不好的老师，没有教不好的学生。他总是激励学生热爱数学，引领学生把握数学知识点，欣赏学生点滴进步。成老师告诉孩子们：学习数学㈠、首先要确定自己努力的目标，有毅力，迎难而上，自觉努力地去学习、做题；㈡、要思路清晰，快中求稳，还要有足够的细心；㈢、要有独立的思考能力，不要人云亦云。真正有创造力的孩子，越学越有兴趣，越有钻劲，才能充分发挥他的聪明才智，成为最优秀的和最出色的！目前，成老师作为学而思专职老师，一方面奋战一线教学，赢得家长广泛的口碑；另一方面任职师资培训部，获得同事领导的一致好评，正在成长为学而思的骨干力量。我的座右铭：每一份私下的付出都会有倍增的回报，我的原则是：善待每一个学生！不放弃每一个学生！对每个学生负责！（否则放弃的有可能是一个孩子的美好前途，放弃的有可能是一个家庭的希望，留给孩子的也将是一个永远的遗憾）愿孩子们拥有开朗的笑容、天真的气色、充满自信、精神抖擞！我愿与同学们共同快乐卓越地茁壮成长！例题详解：行程问题中的猎狗追兔问题【解析走美复赛试题第8题】野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只需跑5步。问：猎狗跑多少步才能追上野兔？【分析】条件野兔逃出80步后指的是兔步，这个时候在解题时需要化狗步为兔步，统一狗步：兔步狗步路程：7步（35步）3步（15步）时间：9步（27步）5步（15步）首先怎样统一狗步呢？狗出现了3步，5步，求【3，5】=15（步）3和5的最小公倍数为15在路程一定的情况下，狗的15步就是兔的35步；在时间一定的情况下，狗的15步就是兔的27步；1.狗跑15步的路程等于兔跑35步的路程；在相同的时间内，狗走了兔35步的路程；2.在狗跑15步的时间内，狗比兔多跑了35-27=8（个兔步）跑15个狗步追上8个兔步，总共80个兔步，15×（80÷8）=150（步）【点评】这种猎狗追兔问题是很多学生觉得很难的行程问题，其实只要你好好分析，告诉你兔步，就统一狗步，告诉你狗步，就统一兔步，一定要记住这个转化原则，问题就可以迎刃而解.幽默的成康达老师作者：陈瑞捷在学而思·乐加乐，有一位最幽默的老师，那就是成康达老师。说他幽默，上过他课的同学那是无人不知，无人不晓。这不，有一次上课，他出了一道补充题，刚说完题，有一位同学就举起了手。答案是几？老师用狐疑的眼光从上往下又从下往上打量着他。答案是36。那位同学信心满满地说。恭喜你--这时候你千万不要羡慕那位同学的计算能力和解题能力，也不要佩服它的计算速度，因为成康达老师的话还没有说完。--答错了。那位同学垂头丧气的坐了下来。每当你做错题的时候，他总会说上那句话，那句话成了他的口头禅。又有一次，他要出补充题，全班同学一片怨声载道。可他执意要出，于是，他拿着粉笔说了起来：补充，已知赵本山有一架飞机。飞机的机翼是一个美丽的梯形。AB∥DC，S'三个形'ABC减去S'三个形'CDB等于'呕吐（2）'，求阴影部分的面积。此题说完，全班爆笑。他不但上课时幽默，下课时也与我们玩成一片。有一节课，我们做了许多练习，总算盼到了下课。我和几个同学就在走廊上踢起了上课时被成康达老师折断的粉笔头，我正踩着粉笔头玩。突然，有一只大脚从我身后将球踢飞。我定睛一看，正是成康达老师。于是，我便和几个同学一起迎接成康达老师的挑战。我用尽力气，一脚远射，球正中他的肚子。好啊你，差点把我早饭给踢出来。走廊上又爆发出一阵笑声。这就是我心目中的成康达老师，一个幽默的老师。由于他的幽默，我们上他的课都感到非常轻松，对学习的兴趣也越来越浓了。冯高升教师寄语：思路清晰简单易懂深入浅出举一反三有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚。苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。只要努力，一定成功！原创文章:浅谈各杯赛学习杯赛N多，究竟选哪个？很多家长都有类似的感慨！希望杯、华罗庚金杯、中环杯、小机灵杯，各有各的辅导班……于是乎，家长学生奔波于各杯赛的辅导班之间。其实，大可不必如此！诚然，各杯赛情况各不相同、都有其特点，但大同小异，所考察的知识点基本都差不多。目前上海重点中学比较看中的杯赛证书是希望杯、中环杯和小机灵杯的获奖证书。希望杯难度中等，但获奖比例不高。小机灵杯仅就考试题来说，比中环杯要难。中环杯侧重于考察学生动手动脑能力，所以会有40分有相当难度的动手动脑题。试题内容，大同小异，所考察的知识点都差不多！各年级、各杯赛，巧算、行程、加乘原理、容斥原理、抽屉原理都是必考题……不同之处是由于各年级所掌握的知识程度不同，四年级还考察学生数阵图、方阵、简单数论，图形的切、拼、割等知识点。五年级盈亏、还原问题，直线型图形面积（重难点）考到的比较多。六年级相对来说难度较高，工程、浓度问题，数论，直线及曲线图形的切割和平移都有一定难度！例题详解一、数论例：有两个两位数的差是56，这两个两位数的平方数的末两位数字相同，求这两个两位数分别是多少？分析：好多同学看到这道题，感觉无从下手。题目给的条件非常少，只有两个。而且第二个条件很多同学不知道怎么用。这道题考察的知识点比较多，因式分解，奇偶数的性质，和差问题等都涉及到。首先，我们设这两个数分别是a,b(ab),因为a,b的平方数的末两位数字相同，所以这两个数的平方做差应该是