条件概率教学设计

8.2.2条件概率一、教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.（二）情感目标创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．二、教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.三、教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.四、教学过程（一）引入课题[教师]（配合多媒体演示）问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率.[学生]（回答）61[教师]（引导学生一起分析）本次试验的全集＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B＝｛掷出点数为3｝，则B的基本事件数为1.61)(＝中的元素数中的元素数BBP[教师]（配合多媒体演示）问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率.[学生]（回答）31[教师]（引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5.本次试验的全集改变为A＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变.设B＝｛掷出的点数为3｝，则B＝｛3｝，这时全集A所含基本事件数为3，B所含基本事件数为1，则P（已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝31A＝中的元素数中的元素数B.[教师]（针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？[学生]这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A∩B).[教师]（归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B（掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A（掷出奇数为前提的，这样的概率称为A发生条件下的事件B发生的条件概率.（板书课题——条件概率）（二）传授新知1．形成概念[教师]在引入课题的基础上引出下列概念：（多媒体演示）设A、B是事件，用P(B|A)表示已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称为条件概率.2．归纳公式引例1：（多媒体演示）某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率.[学生]（口答）设A＝｛只有一名女生获得冠军｝，B＝｛高一女生获得冠军｝依题意知已知A发生的条件下，A成为试验的全集，B是A的子集，A所含元素数为3，B所含元素数为1，则31A)|(＝中元素数中元素数BABP[教师]（问）P(A)为多少？P(A∩B)为多少？P(A),P(A∩B),P(B|A)之间有何关系？[学生]（口答）61)(,2163)(BAPAP)()()|(APBAPABP[教师]这个式子的含义是明确的.由此，便将P(B|A)表示成P(A∩B)与P(A)之比，这为我们在原样本空间下完成条件概率P(B|A)的计算提供了方便.那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢？我们再看一个例子：（多媒体演示）引例2：在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到草花的条件下，求抽到的是草花5的概率.[学生]（口答）设A＝｛抽到草花｝，B＝｛抽到草花5｝，依题意知已知A发生的条件下A成为试验的全集，A中的元素发生的可能性相同，B是A的子集.∵一副扑克中草花有13张∴A所含元素数为13，B所含元素数为1.则131A)|(＝中元素数中元素数BABP.[教师]本例中P(A)为多少？P(A∩B)为多少？P(B|A)与P(A)、P(A∩B)是否仍有上例的关系？[学生]由于5213)(AP，521)(BAP所以也有)()()|(APBAPABP.[教师]综合引例1与引例2我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式：（多媒体演示）条件概率公式：若P(A)0则)()()|(APBAPABP.注：（1）其中P(A)0是在概率的非负性的基础上，要求P(A)≠0,以保证)()(APBAP有意义；（2）类似地，若P(B)0则)()()|(APBAPABP；（3）公式的变形可得（概率的乘法公式）：若P(A)0,则P(A∩B)＝P(A)P(B|A).（三）讲解例题1．条件概率计算公式的应用例1．由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7，活到80岁以上的概率是0.4，若已知某人现在70岁，试问他能活到80岁的概率是多少？解析：设A＝｛活到70岁以上｝，B＝｛活到80岁以上｝，则P(A)=0.7P(B)=0.4又∵BA∴P(A∩B)=P(B)=0.4∴)()()|(APBAPABP57.07.04.0.[教师]在求条件概率时，要求知道两事件之积(A∩B)的概率，这概率或者题设已经给出，或者隐含在其他条件中，需要对所给条件进行分析才能得到.2．上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率，但有时候根据问题的特点可以直接得到结果.如下面的例2就是这样一个典型例子.例2.（课本P54/例3）把一副扑克的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝赵家分得的13张牌中有6张草花，B＝孙家分得的13张牌中有3张草花.①计算P(B|A)②计算P(A∩B)解析：①四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定.余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的.问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率.于是.278.0/)|(13391073937CCCABP②在52张牌中任选13张牌有1352C种不同的等可能的结果.于是中元素数＝1352C，A中元素数＝.739613CC利用条件概率公式得到P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝278.01352739613CCC≈0.012.[教师]综上各例所述我们看到：（Ⅰ）条件概率公式提供了P(A∩B)、P(A)、P(B|A)三者之间的关系，三者中知二求三，关键在于分析实际问题中已知什么，要求什么.（Ⅱ）我们也可以把条件概率问题转化为古典概型的概率问题，从而将条件概率的计算转化为古典概型的概率的计算（如例2中）＝中元素数中元素数－13391073937CCC)|(BABP.（四）技能训练课本第54页练习（1）（2）（3）[学生]设题中试验的全集=｛(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6｝（1）A＝｛投掷一枚骰子是偶数点｝＝{(i,j)|i=2,4,6,j=1,2,3,4,5,6}B＝｛投掷另一枚骰子也是偶数点｝={(i,j)|i=1,2,…6,j=2,4,6}∴A∩B={(i,j)|i=2,4,6,j=2,4,6}A＝｛投掷两枚骰子都是奇数点｝＝{(i,j)|i=1,3,5,j=1,3,5}434111)(1)(16161313CCCCAPAP41)(16161313CCCCBAP314341)()()|(APBAPABP因此已知一枚是偶数点，另一枚也是偶数点的概率为.31（2）A＝{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)(5,5),(6,6)}B={(3,3)}则A∩B＝{(3,3)}P(A)=61366361)(BAP6161361)|(ABP因此已知两枚点数相同条件下，点数都是3的概率为.61（3）A＝｛（3,3），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2）｝B＝｛（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）｝则A∩B＝｛（3,3）｝361)(BAP365)(AP51365361)|(ABP.因此已知点数和中6条件下两枚骰子点数相同的概率为.51[教师]（引导学生得到（2）（3）题的另一种解法）我们也可以用另一种观点来求P(B|A)即通过转化样本空间，将A看着试验的全集（样本空间），在A中考虑满足B的元素数，则有解法2：（2）.61A)|(＝中元素数中元素数BABP（3）.51A)|(＝中元素数中元素数BABP（五）课堂小结1．条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率.2．求条件概率的方法有两种：一是利用条件概率公式即先分别求P(A)和P(A∩B)，再用公式)()()|(APBAPABP来计算.二是转化为概率，即（1）把A看着试验的全集（样本空间），从而把P(B|A)转化为新样本空间A下的概率，再用公式中元素数中元素数A)|(BABP直接得到结果.（如练习（2）（3）的解法）3．把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解.（如例2（课本P54/例3）的第①题）（六）思维与拓展：1．两台车床加工同一种零件共100个，结果如下表正品数次品数总计第一台车床加工数35540第二台车床加工数501060总计8515100设A＝｛从100个零件中任取一个是正品｝，B＝｛从100个零件中任取一个是第一台车床加工的｝，求P(A|B)和)|(ABP.解析：10085)(AP10040)(BP10035)(BAP10015)(AP1005)(BAP875.04035)()()|(BPBAPBAP333.0155)()()|(APBAPABP2．P(A)P(A|B)对吗？解析：一般说来，P(A)与P(A|B)之间并没有什么必然的关系.事实上，“事件B已经发生”这一条件可能使P(A|B)比P(A)大，也可能使P(A|B)比P(A)小，还可能P(A|B)＝P(A).但是如果A，B之间存在一些特殊的关系，这时P(A|B)与P(A)谁大谁小将可以有进一步的结论.（1）A，B之间有包含关系，则P(A|B)≥P(A).（2）若A∩B＝Φ，则P(A|B)≤P(A).五、布置作业课本第55页习题3（1）（2）（3）（4）补充题1．某动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.4，问现龄20岁的动物活到25岁的概率是多少？2．投掷两枚骰子，已知点数和为10，求两枚骰子中第一次投掷的点数大于第二次投掷点数的概率.