杭电概率论08期中卷与解析

1杭州电子科技大学学生考试卷（期中）卷与解析考试课程概率论与数理统计考试日期2008年11月日成绩课程号A0702140教师号任课教师姓名考生姓名参考答案学号（8位）年级专业一、选择题（每小题3分，共12分）1．设BA,是两个互不相容的事件，0)(BP，则下列各式中一定成立的是（C）A．1)(BAPB．)(1)(BPAPC．0)(BAPD．0)(ABP解析：知识点：1）若BA,是两个互不相容的事件，则AB，可推0)(ABP2）本题还用到条件概率公式)()()(BPABPBAP2．设随机事件BA,满足)()(ABPBP，则下列结论中正确的是（A）A．)()()(BPAPBAPB．)()()(BPAPBAPC．BA,互不相容D．)()(ABPAP解析：由)()(ABPBP得BA,相互独立，则BA，也相互独立。而若BA,是相互独立，则)()()(BPAPABP3．随机变量X的概率密度为),(,21)(4)3(2xexfx，则Y（B）)1,0(~NA．23XB．23XC．23XD．23X解析：正态分布的概率密度函数与参数和2的关系；及与标准正态分布的关系（转化）)1,0(~NXY24．设随机变量X和Y相互独立，其分布函数分别为)(xFX与)(yFY，则随机变量),max(YXZ的分布函数)(zFZ等于（C）A．)}(),(max{zFzFYXB．)]()([21zFzFYXC．)()(zFzFYXD．)()()()(zFzFzFzFYXYX解析：1）二维随机变量函数的分布}),({}{)(zYXGPzZPzFZ；2）若为二维离散型随机变量，则zyxGjiZjiyYxXPzYXGPzZPzF),(},{}),({}{)(；3）若为二维连续型随机变量，则zyxGZdxdyyxfzYXGPzZPzF),(),(}),({}{)(。二、填空题（每小题4分，共20分）1．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中没有2只配成一双的概率是218.解析：古典概率2182410445CCp2．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误作B的概率为04.0，而B被误作A的概率为03.0，信息A与信息B传递的频繁程度为1:2，若接收站收到的信息是A，则原发信息是A的概率为64/65.解析：知识点贝叶斯公式的应用：656403.031)04.01(32)4.0.1(32p（注：还要掌握全概率公式）3．某人投篮，投中的概率为0.6，现投了3次，则此人投中2次的概率为0.432.解析：知识点二项公式的应用：432.0)6.01(6.0223Cp4.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为41,31,51，则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是3/5.解析：知识点独立性的应用：53)411)(311)(511(1p5.某种型号的器件的寿命X（以小时记）具有以下的概率密度其它,01000,1000)(2xxxf，现从一大批此种器件中任取1只，则此只器件的寿命3大于2500小时的概率为2/5.解析：知识点：一维连续型随机变量的概率密度的性质得：2500)(}2500{dxxfXPp5210001000250025002xdxx（注：作业做过的题型）三、（本题8分）设事件BA,，满足4.0)(,6.0)(BPAP，5.0)(BAP，求)(BABP.解:由条件概率:)())(()(BAPBABPBABP………2分又由加法公式:)()()()(BAPBPAPBAP由题意7.05.0)4.01(6.0)(BAP………2分而)())((ABPBABP1.05.06.0)()()(BAPAPABP（“减法公式”）……3分所以:717.01.0)())(()(BAPBABPBABP………1分四．（本题10分）设随机变量X的分布律为：X-101P0.20.30.5求(1)X的分布函数)(xF;(2)2XY的分布律;(3)概率}1{XP.解：(1)X的分布函数()Fx=1,110,5.001,2.01,0xxxx………4分(2)Y的分布律为:Y01P0.30.7………4分(3)概率}1{XP=5.0………2分解析：知识点已知一维离散型随机变量的题型。41）此题已知分布律，求分布函数、函数的分布律、概率等；2）反过来，若已知分布函数，如何求分布律、函数的分布律、概率（包括条件概率）等3）一般：一维离散型随机变量分布律的求法（1）X的取值；（2）取对应值的概率五．（本题12分）设连续型随机变量X的密度函数为　其它　　　　,021,210,)(xxxkxxf，（1）确定常数k；（2）求X的分布函数)(xF；（3）求}221{XP.解:（1）因为1)(dxxf……2分所以1)2(2110dxxkxdx得1k……2分(2)X的分布函数()Fx=xdttf)(…….2分=2,121,)2(10,0,01100xxdttxdxxtdtxxx…….2分=2,121,12210,20,022xxxxxxx…….2分(3)}221{XP87811)21()2(FF解析：知识点已知一维连续型随机变量的题型。1）此题已知概率密度（有未知常数），求分布函数、概率等；2）反过来，若已知分布函数，如何求概率密度等；六．（本题12分）设随机变量),(YX的概率分布律为：XY012-10.30.10.210.10.30求：（1）关于X,Y的边缘分布律；（2）关于XYZ的分布律；（3）条件概率}11{YXP.5解：（1）关于X的边缘分布律为X012P0.40.40.2………2分关于Y的边缘分布律为Y-11P0.60.4………2分(2)因),(YX的取值为)1,2(),1,2(),1,1(),1,1(),1,0(),1,0(　　　　故YXZ的取值为:00-11-22所以YXZ的分布律为YXZ-2-101P0.20.10.40.3…………4分(3)条件概率}11{YXP}1{}1,1{YPYXP………….2分=434.03.0}0{}1,2{}1,1{XPYXPYXP…………2分（知识点：1）二维离散型随机变量),(YX的边缘分布律、条件概率（条件分布律）；2）二维离散型随机变量),(YX的函数的分布律：取值，概率)加其他题型（知识点）：1）求二维离散型随机变量),(YX的分布律；2）某点处的分布函数的值，如)2,1(F=？；3）落在某区域内的概率如}1{YXP；4）二维离散型随机变量X与Y的独立性的条件.七．（本题16分）设二维随机变量),(YX的概率密度为其它,010,),(2xyyCxyxf（1）求常数C；（2）求关于X和关于Y的边缘概率密度；并问X与Y是否相互独立？（3）求概率}1{YXP.解：(1)1),(dyyxfdx…….2分6即xydyCxdx02101，得10C…….2分（2）关于X的边缘概率密度dyyxfxfX),()(…….1分=其它,010,1002xydyxx=其它,010,54xx…….2分关于Y的边缘概率密度dxyxfyfY),()(…….1分=其它,010,1012yydxxy=其它,010,)1(3103yyy…..….2分显然当10xy时)()(),(yfxfyxfYX所以X与Y不相互独立..…….2分(2)}1{YXP=1),(yxdxdyyxf=2101210yyydxxdy..…….2分（或=2100210xydyxdx+12110210xydyxdx=9611.……2分（这也是一个基本题型；知识点：1）求二维连续型随机变量的概率密度中含的未知参数方法：用1),(dyyxfdx；2）二维连续型随机变量),(YX的边缘概率密度，独立性的说明；3）随机变量),(YX落在平面区域G上的概率的求法（转化为求二重积分）即GdxdyyxfGYXP),(}),{(加）二维连续型随机变量),(YX的条件概率密度及条件概率的求法)八．（本题5分）设随机变量X具有概率密度其他,00,)(xexfxX，求随机变量2XY的概率密度。解：因2xy在0x上单调增加,且yx7故Y的概率密度其他,00,))(()(yyyfyfXY=其他,00,2yyey（知识点：一维连续型随机变量X的函数)(XgY的分布），一般求法:1）求一维连续型随机变量的函数的分布函数yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()(})({}{)(2)对分布函数求导，得概率密度。说明：若函数)(xgy是单调函数，可直接用书上公式）；若不是单调函数，则用一般方法求如书上59页37题xysin在),0(上不单调。九．（本题5分）设随机变量),(YX在矩形}10,20),{(yxyxG上服从均匀分布，试证：随机变量YXZ的概率密度为其它,020,)ln2(ln21)(zzzfZ.证：由题意：),(YX的概率密度为其它,010,20,21),(yxyxf，设Z的分布函数为)(zFZ，则zxyZdxdyyxfzXYPzF),(}{)(.……2分易知：当0z时0)(zFZ；当2z时1)(zFZ；当20z时，}{1}{)(zXYPzXYPzFZ=zzdydxxzz)ln2ln1(2121112求导：得Z的概率密度为其它,020,)ln2(ln21)(zzzfZ.……3分解析：这是二维连续型随机变量的函数的概率密度的一般求法：1）先求分布函数zyxGZdxdyyxfzYXGPzF),(),(}),({)(；2）求导后的概率密度.注：1）若函数为YXZ，XYZ；XYZ/，求概率密度也可用书上的公式；2）最大、最小情形：（1）},{}},{max{)(},max{zYzXPzYXPzFYX8（zzdyyxfdx),(连续型）（2）},{1}},{min{1}},{min{)(},min{zYzXPzYXPzYXPzFYX（zzdyyxfdx),(1连续型）