极限的理论及在新概念形成过程中的应用(新)

极限的理论及在新概念形成过程中的应用[内容提要]针对目前高中部分数学教师对极限思想教学中由于思维的局限性和对衔接初等数学与高等数学这一思想的重要性认识不足，本文拟从极限思想的产生与发展;极限思想的理论内涵;极限理论的具体指导和应用等三方面阐述这一逻辑严密的理论对数学教学指导作用.【关键词】极限思想，理论内涵，具体应用一．极限思想的产生与发展.极限思想是社会实践的产物。它起源于古巴比伦和埃及.原因是在求不规则图形面积和体积时遇到了类似于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”无限过程的问题。芝诺、德谟克利特、亚里士多德等人为极限思想的建立奠定了基础.在我国极限的思想可以追溯到古代。刘徽创立了割圆术，用圆内接正多边形面积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值问题，是他应用极限思想的成功事例。这种思维过程是对直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关证明。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力有了极大的发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破仅仅研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，促进了极限发展。尽管各个时代的数学家由于思维的局限性和对极限思想本质认识不足均未能给出极限严格和紧密化的定义，但19世纪中叶维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，他指出：所谓Limnan﹦A，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式｜an－A｜＜ε恒成立”。他建立的ε－N语言，用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。极限定义在目前也是一种十分完善的定义，它的逻辑性相当严密。可以说它是整个数学分析的基石和坚强后盾，给微积分提供了严格的理论基础,建立了微积分的社会背景。二．极限思想的理论内涵所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。它揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。三．极限思想的具体指导和应用（1）借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从量变认识质变，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。具体而言它是用联系发展的观点，把所考察的对象（如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作是某对象（内接正边形的面积、匀速运动的物体的速度、小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来。(2)极限思想的具体应用用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它相关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。在求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步，即“分割”和“求和”，是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现.只有第三步“取极限”这种蕴含于变量数学中的丰富的辨证逻辑思维，才使得初等数学无法解决的问题得到顺利地解决。定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则:在求曲边梯形的面积总量I在取极限过程中，当时，一方面使积分和1()niiifx中的积分元素转化为总量I的微分()dIfxdx这是对总量I的否定，这次否定的结果得到了I的微分dI这是对总量I的无限项细分；另一方面，当时，积分和1()niiifx转化为对微分dI的无限项相加，这是对dI的否定，这一次否定的结果得到了总量I，这是对dI的无限积累.现考察下列极限思想具体应用题：112lim()122nnnnnn求之值分析：112lim()122nnnnnnn设S121()12111nnnnnnnnn1xx通过观察拟考察函数f(x)=，该题实际上也就是求曲线()1xfxx与x=1及两个坐标轴正半轴围成的曲边梯形面积由于在[0,1]上有界,在[0,1]中插入n个分点把区间[0,1]分割成n个长度相同的小区间0n1n2…….nn1nn[0,n1],[n1n2]……[nnnn,1]各小区间的长度均为n1在每个小区间上任取一点(0,1,2)iiinn作函数值与小区间长度的乘积,并作和式记实际上不论对[0,1]怎样的分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数在区间[0,1]上的定积分,记为I=112lim()122nnnnnnnS=nnnnnnnnnn1212111(1lim）xxdx10110[ln(1)]|xx12ln，综上所述：极限理论是人类思想文化的结晶，蕴涵着丰富的辩证思想，极限的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它把初等数学扩展到一个新阶段------变量数学.它是变量数学的基础理论.对当前高中数学已有的极限内容,必须采取有效的教学方法和手段,教好学好,为以后建构新的数学知识体系；继续学习变量数学奠定良好的基础.