构造辅助函数法在微积分证明中的运用

构造辅助函数法在微积分证明中的运用1、原函数法其实是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，这个证明的步骤：1.将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；2.用x替换变换后等式中的变量；3.用观察法或者凑微分法求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数。4.最后结合微分中值定理，推导出结论来。例1．设函数()fx在[,]ab上可导，试证明存在(,)zab，使得()()()()bfbafafzzfzba。证明：将要证的结论变形为()()()()0bfbafafzzfzba,则根据积分构造辅助函数()()()[()()]bfbafaFxfxxfxdxba()()()bfbafaxfxxba。可知函数满足罗尔定理的条件，即()()FaFb,所以，存在(,)zab，使得()()()()()0bfbafaFzfzxfzba。可知结论得证。本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x替换变换后等式中的变量z,再求出原函数，即函数()fx，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。例2．()fx在,ab连续，,ab可导，则存在(,)ab，使222(()())()()fbfabaf。证明（证明一）：将要证的结论变形得22()()()2fbfafxba，将等式中的记为x，即22()()()2fbfafxxba，然后积分得222()()()fbfafxxcba，得到辅助函数222()()()()fbfaFxcfxxba，显然()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，又因为2222()()()()bfaafbFaFbba，满足罗尔定理，所以存在(,)ab，使得()0F，故222(()())()()fbfabaf。例2证明中在构造辅助函数时用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]ab上的性质，然后运用罗尔定理推导出结论。如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下例2．证明（证明二）：将要证明的等式中的记为x，然后积分得222(()())()()xfbfabafx，得到辅助函数222()(()())()()Fxxfbfabafx，可知，()()FaFb。故由罗尔定理可得222(()())()()fbfabaf。通过例2的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。存在多种构造函数的思路，并且构造函数的形式多种多样，但是我们从中要把握住核心的思路：观察要证明的结论，并进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，让这个构造函数能够满足微分中值定理的条件，进而利用中值定理得出要证明的结论。例3．设()fx在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0ff，求证存在(0,1)，使2()()1ff。证明：设辅助函数2()(1)()Fxxfx，因为()fx在[0,1]上二阶可导，则()fx在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，而(0)(1)0ff满足罗尔定理,则存在1(0,1)内，使1()0f。在1(,1)内，又22111()(1)()0Ff，2(1)(11)(1)0Ff，则可知()Fx满足罗尔定理，所以存在1(,1)(0,1)，使得()0F，又2()2(1)()(1)()Fxxfxxfx，所以2()2(1)()(1)()0Fff，即得：2()()1ff。这个构造的辅助函数依然按照根据要证结论的等式进行变换，则可知()2()1fxfxx，两边积分可得ln()2ln1lnfxxc，得2(1)()cxfx，这样我们就找出了所需要构造的辅助函数。2、微分方程通解法在命题中经常会遇到这样的形式，函数()fx在区间,ab上连续，在(,)ab内可导，且满足一定的条件，求证存在一点(,)ab，使得()[,()]ff。在处理这一类的问题时，可以先解微分方程(,)yxy，得到通解(,)Gxyc，则可构造出辅助函数为()(,)FxGxy，这种处理的方法就是微分方程通解法。例1．设函数()fx在区间,ab上连续，在(,)ab内可导，且()0fx，(,)xab。若()()0fafb。证明：对任意的实数k，存在点(,)ab使得()()fKf。证明：将结论中的换成x，得到可分离变量的微分方程：()()fxKfx，即dykdxy，可知道其通解为()kxfxce，即为()kxfxec，则设辅助函数为()()kxFxfxe，则()Fx在,ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb。则由罗尔定理可知，至少存在一点(,)ab，使()0F，则有()()fKf。可见微分方程通解法，在证明结论形式为()[,()]ff的命题时，将换成x，再令()yfx，得到微分方程(,)yxy，如果能够解得其通解为(,)uxyC，则可构造辅助函数()(,())Fxuxfx。例2．设函数(),()fxgx在,ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb，求证：存在点(,)ab使得()()(()()1)gffg。证明：将结论中的换成x，得到一阶线形微分方程1dyyzdz（一阶线性微分方程的通解见附录A），解得()zyzec，于是设辅助函数为()()(()())fxFxfxgxe，由题意可知()Fx在,ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb，则由罗尔定理可知，至少存在一点(,)ab，使()0F，即()()(()()1)gffg。此例题的结论形式是()((),())()fxfggx，则将(),()yfxzgx，得出微分方程形式为(,)dyyzdz，若通解为(,)uyzC，则可构造的辅助函数即为()((),())Fxufxgx。拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：