数值分析-方程求根

数学与计算科学学院实验报告实验项目名称方程求根所属课程名称数值方法B实验类型验证实验日期2014.11.13班级数学1201班学号201264100127姓名莫吉超成绩1一、实验概述：【实验目的】1.熟练掌握用迭代法和牛顿法求非线性方程问题2.能够编写迭代法和牛顿法求非线性方程的程序，进行求解【实验原理】1.迭代法原理：对所给方程，在区间],[ba内，可改写成为：)(xx(1.1)取],[0bax，用递推公式：)(1kkxx(1.2)，,2,1,0k可得到序列：0210}{,,,,kkkxxxxx(1.3)当k时，序列0}{kkx有极限x~，且)(x在x~附近连续，则在上式两边极限，得，)~(~xx，即x~为方程(1.1)的根。由于所给方程和方程(1.1)等价，所以，xx~*即*limxxkk式(1.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x可称为迭代函数。称求得的序列0}{kkx为迭代序列。2．牛顿迭代法原理设已知方程0)(xf的近似根0x,则在0x附近)(xf可用一阶泰勒多项式))((')()(000xxxfxfxp近似代替.因此,方程0)(xf可近似地表示为0)(xp.用1x表示0)(xp的根,它与0)(xf的根差异不大.设0)('0xf,由于1x满足,0))((')(0100xxxfxf解得)(')(0001xfxfxx重复这一过程,得到迭代格式)(')(1nnnnxfxfxx这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为2)(')()(xfxfxxg.【实验环境】（1）win7操作系统（2）matlab软件二、实验内容：【实验方案】1.用迭代法求方程2x^3-x-1=0的在初值x0=0根；分别选取迭代函数为x=)(213xx和x=)(123xx求解。分析比较迭代函数选取的不同对收敛性的影响。2.用牛顿法求x^3-x-1=0在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。分析比较初值的选取对迭代法的影响。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）2.牛顿迭代法求解过程323k12()1'()3*x1,()1x'()3*x1kkkkfxxxxfxxxxxfx(1)由题可知，，故f由牛顿法可知，迭代公式为(2)编写牛顿迭代法的matlab程序（3）分别求在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。具体结果如下;当取x0=1.5时：迭代10次的结果分别为：x=1.3478x=1.3252x=1.3247x=31.3247x=1.3247x=1.3247x=1.3247x=1.3247x=1.3247x=1.3247当取x0=0时，迭代10次的结果如下;x=-1x=-0.5000x=-3x=-2.0385x=-1.3903x=-0.9116x=-0.3450x=-1.4278x=-0.9424x=-0.4049【实验结论】（结果）（1）当所给方程一样的情况下，所取的迭代函数不同，对收敛性的影响不同。当取迭代函数为)(213xx，函数收敛，且所求的根为1.0000；当所取函数为)(123xx，函数不收敛。（2）在所给函数一样的情况下，选取不同的初值，对函数的收敛性有影响。在所给初值4为x0=1.5时，函数收敛，所求根为1.3247，当所给初值为x0=0时，函数不收敛。【实验小结】（收获体会）通过这次上机实验，更进一步的掌握了迭代法和牛顿法的解题思想，用例子证明了当所取的迭代函数不同及所取初值不同时对收敛性的影响，同时，也提高了自己利用matlab编程的能力，收获颇大。三、指导教师评语及成绩：评语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录1：源程序51、迭代法matlab程序（1）建立名为fun.1的M文件functiony1=fun1(x)y1=2*(x^3)-1;（2）建立名为diedai1.m的M文件function[k,a,b,xk]=diedai1(x0,k)x(1)=x0;fori=1:kx(i+1)=fun1(x(i));;%程序中调用的fun1.m为函数y=φ(x)a=abs(x(i+1)-x(i));b=a/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);[(i-1)abxk]endif(a1)&(b0.5)&(k3)disp('注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式’)return;endif(a0.001)&(b0.0000005)&(k3)disp('此迭代序列收敛，且收敛速度较快')return;endp=[(i-1)abxk];（3）在matlab工作窗口输入程序：[k,a,b,xk]=diedail(0,8)2、牛顿法的matlab程序clear;x=0;fori=1:10x=x-(x^3-x-1)/(3*x^2-1)end