数列论文定稿

分类号O172.1编号2011010619毕业论文题目比较法在判别级数敛散性中的应用学院数学与统计学院姓名马建行专业班级11级数学与应用数学四班学号20111010619研究类型研究综述指导教师代丽芳提交日期2015-05-14原创性声明本人郑重声明:我所呈交的论文是在指导教师的指导下独立完成的成果。论文里面引用到他人已经发表的文献、数据、观点等都已经明确注明。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名:年月日论文指导教师签名:比较法在判别级数敛散性中的应用马建行(天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000)摘要级数敛散性的判断有许多方法，其中比较判别法是重要方法之一.介绍了几种比较判别法，并通过实例说明其应用.关键词级数；正项级数；收敛；发散；比较判别法ApplicationsofcomparativemethodinjudgingtheseriesconvergenceJian-hangMa(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741000,China)AbstractTherearemanyapproachestojudgetheconvergenceofaseries,thecomparativemethodisoneofthemostimportantmethods.Inthispaper,severalkindsofcomparativemethodsareintroduced,andthecorrespondingexamplesaregiven.KeywordsSeries,positiveseries,convergence,divergence,comparisonmethod数学与统计学院2015届毕业论文目录0引言..............................................................11预备知识..........................................................12各种比较判别法及应用..............................................2定理2.1CAUCHY凝聚判别法.........................................2定理2.2KUMMER判别法.............................................4定理2.3D'ALEMBERT判别法.........................................5定理2.4CAUCHY根式判别法.........................................8引理2.1D'ALEMBERT判别法与CAUCHY根式判别法的关系.................9定理2.5RAABE判别法............................................10定理2.6对数判别法.............................................12定理2.7GAUSS判别法.............................................133结束语...........................................................15参考文献...........................................................16数学与统计学院2015届毕业论文1比较法在判别级数敛散性中的应用0引言我们知道解决正项级数敛散性的判别法有很多种，有比较判别法、高斯判别法、比值判别法、积分判别法等，对于级数敛散性的最常用的一般方法是，首先要判断级数是哪一种类型，在确定类型后按照该类型的计算方法一步一步计算，最后按照其判定定理判断敛散性.所以，选择正确的正项级数敛散性的判别方法，是解决正项级数敛散性的关键，本文利用了比较判别法解决了正项级数敛散性的若干问题以及若干应用，突出了比较判别法在正项级数敛散性中的重要性.1预备知识定义1.1给出一个数列nR，对它的每一项依次用“+”号连接起来的表达式n21RRR称为级数，其中nR为级数nR的通项.定义1.2给出一个数列nR,如果nR的任何一项都大于0，那么就称nR为正项级数.定义1.3如果正项级数nR的部分和数列TTn收敛于，即称正项级数nR收敛，否则发散.引理1.1(比较判别法）假设1nnR和1'nnR是两个正项级数，如果存在常数0A，使得nnARR'，,2,1n，则(1)如果级数1'nnR收敛，那么级数1nnR也收敛；(2)如果级数1nnR发散，那么级数1'nnR也发散；比较判别法的局限性就在于它只局限于判别比已知收敛级数收敛速度更快的级数或者比已知发散级数发散速度更快的级数，但是有时候用以比较的级数是数学与统计学院2015届毕业论文2不容易找到的，所以要找到合适的级数来作比较，比如对于级数11nn，121nn和1ln1nnn，容易验证级数1ln1nnn的部分和介于121nn与11nn的部分和之间，但是级数121nn收敛，而级数11nn发散，所以我们并不能确定级数1ln1nnn的敛散性.那么如何找到更合适的级数来作比较呢？也就是找到一个收敛速度较慢的级数和一个收敛速度较快的级数，那对于任意给的级数我们最多比较两次，就能确定其敛散性了，但是，我们能找到这样的级数吗？即：怎样来区分级数收敛的“速度”？因此我们先假定收敛速度快慢的标准.设1nnR，1'nnR均为正项级数，记nkknRT1，nkknRT1''，1SnkknR，1''SnknnR，(1)若1nnR，1'nnR均收敛，且，0lim'nnnSS则称1nnR是比1'nnR收敛较快的级数；(2)若1nnR，1'nnR均发散，且0lim'nnnTT，则称1nnR是比1'nnR发散较快的级数.]2[2各种比较判别法及应用定理2.1Cauchy凝聚判别法设1nnR为正项级数，且nR单调递减，则级数1nnR与级数022mmmR同敛态.证明对正项级数任意加括号，其敛散性不改变，则(1)12215832111)(nnRRRRRRRRnn数学与统计学院2015届毕业论文3nRRRRRn284212842nRRnn2112，由比较判别法知，若级数nRnn212收敛，则级数1nnR收敛；若级数1nnR发散，则级数nRnn212发散.(2))()()(121216943211nnRRRRRRRRRnn121684212842nRRRRRRn21121221nnnRRR，由比较判别法知，级数222nnnR发散，则级数1nnR发散；级数1nnR收敛，则级数122nnnR收敛.由（1）（2）可知，级数1nnR与级数122nnnR同敛态.例2.1讨论下列级数的敛散性.(1)1ln1npnn（2）1lnlnln1npnnn)1(p证明(1)由于级数11112ln12ln12ln212nppnppnnnnnn，当1p时，级数11npn收敛，故由Cauchy凝聚判别法知，级数1ln1npnn收敛；当1p时，级数11npn发散，故由Cauchy凝聚判别法知，级数1ln1npnn发散.(2)由于级数112lnlnln2ln12lnln2ln212nppnnnnnnn，数学与统计学院2015届毕业论文4而02ln1)(ln12lnlnln2ln1ppnnnn)(n由（1）并结合Cauchy凝聚判别法知，当1p时，级数1lnlnln1npnnn收敛.定理2.2Kummer判别法设1nnR和1'nnR均为正项级数，则(1)若存在0，使当n充分大时,有1'1'nnnnRRRR，则级数1'nnR收敛.(2)若级数11nnR发散，且01'1'nnnnRRRR，则级数1'nnR发散.]4[证明(1)存在正整数N，使得对一切Nn有nnnnRRRR1''1，即0''1'1nnnnnRRRRR，于是nnnnnRRRRR'1'1'1，因此数列nnRR'单调递减，而0'nnRR，由单调有界定理知，数列nnRR'收敛，记ARRnnn'lim，则级数11'1'nnnnnRRRR的部分和nnnnnnnRRRRRRRRRRRRRRRRT'1'1'1'13'32'22'21'1，所以ARRTnn1'1lim，从而级数1'1'nnnnnRRRR收敛.由比较判别法知，级数1'nnR收敛.(2)存在正整数N，对一切Nn有01'1'nnnnRRRR，则数学与统计学院2015届毕业论文511'11'nnRnRnRR，因此数列nRnR1'单调递增.不妨设nnRNRnRR1'1')0(，则nnRR'，而级数11nnR发散，由比较判别法可知，级数1'nnR发散.Cauchy凝聚判别法和Kummer判别法都是选用收敛速度与给定级数收敛速度相当或较之更快的级数进行比较，但其实这两种判别法在很多情况下计算是很麻烦的，因此，我们可以探索与之相比更简形式的判别法.定理2.3d'Alembert判别法设1nnx是正项级数，则(1)当1lim1rRRnnn时，级数1nnR收敛；(2)当1lim1rRRnnn时，级数1nnR发散；(3)当1r或1r时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.]1[证明(1)1r时，对任给的0，存在正整数N，对一切Nn有rRRnn10取rq（1qr），则qRRnn10，从而有qRR120，qRR230，，qRRnn10，，把这1n个不等式相乘，得23120RRRR11nnnqRR，数学与统计学院2015届毕业论文611nnqRR，而10q，等比级数111nnqR收敛，由比较原则可知1nnR收敛.(2)1r时,对任给的0，存在正整数N，对一切Nn，有rRRnn1，取qr，(rq1)，则有01NnnRRR，于是有0limnnR，因此级数1nnR发散.(3)对于级数11nn和级数121nn，1lim1nnnRR，11limlim221nnRRnnnn，但显然级数11nn发散，级数121nn收敛.例2.2级数11nnR收敛吗？这里2121,2,1nnnRRRRR(3n).解易知5,343RR，321213RR，32531314RR，假设对一切kn有32111nnRR，则当1kn时，1322332232232323232212111111