数字信号分析第一章

现代数字信号处理张莉E-mail:[e-mail]:13666686955成绩考核1.大作业课程讲解、结合专业特点与课题研究方向的项目实践2.期中考试（待定）参考书目现代数字信号处理（英文版）（美）RobertoCristi机械工业出版社数字信号处理－理论、算法与实现胡广书清华大学出版社现代数字信号处理杨绿溪科学出版社现代数字信号处理及其应用何子述等清华大学出版社数字信号处理技术应用领域信号采集信号分析信号变换信号编码信号估值信号滤波信号建模信号处理技术常见应用第一章数字信号处理基本概念1.1概述1.2离散时间信号1.3信号的Fourier变换1.4z变换1.5离散时间系统1.1概述预备知识：信号与系统数字信号处理信号是指含有一定信息量的时间或空间的函数连续时间信号x(t)、离散时间信号x(n)、确定性信号、随机信号等信号的分类（1）周期信号和非周期信号（2）因果信号和非因果信号（3）确定性信号和随机信号（4）一维信号、二维信号及多通道信号1.2离散时间信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到()(),(1.2.1)atnTaxtxnTn这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列：…xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，该数字序列就是时域离散信号。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)-∞＜n＜∞采样示例1.2.2采样定理()()()()()()()naaanPttnTxtxtPtxttnT两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积()[()]()[()]()[()]()2()aaaakskXjFTxtxjFTxtPjFTPtPjakΩs=2π/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。设xa(t)是带限信号，最高截止频率为Ωc，其频谱Xa(jΩ)如下图所示0Ωc－ΩcXa(jΩ)P(jΩ)－ΩsΩsΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs（a）（b）（c）（d）＾＾2s0－ΩsΩs－Ωsδ2s2s(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号x^a(t)通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则Ωs2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。101()()000nnknnknnk（Kronecker函数）()()kpnnk如何表达1.2.3几种常见的数字信号单位冲激信号（Drac函数）)()()(xdtttx()1()0,0tdttt()()kpnnk脉冲串：或写为={…,1,1,1,…}将用来替换snTn()pn冲激串：()()sxnTxn离散序列()()skpttkT()()()()()ssnxnTxtptxttnT()sin(2)sin()xtAftAt(:Hz;:rad/s;:抽样频率,Hz)()()|sin(2/)stnTsxnxtAfnf()sin()xnAn定义：2/()sffradfsf则~0~n1.2.4信号的能量、功率及周期性例信号111()00nxnnn可求出：12116xnEn能量信号信号211()00nxnnn可求出：211xnEn不收敛，非能量信号1.移位：3k整个序列移动2.加,减,乘:4.信号的变换：Z，DFT,DCT注意·：时刻对齐3.卷积：12()()()ynxnxn相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。相关函数之间的互相关之间的互相关,yx所以1.傅立叶级数1.3连续信号的傅立叶变换FS傅立叶系数是第次谐波的系数，所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是。0()Xkk0()Xk0()xtAtT220T0k0()Xk2.傅立叶变换：FTFS：若是非周期信号，可以认为：()xt由t()xtA220()xtAtT220T0k1.对应连续非周期对应连续周期；2.连续离散3.密度强度请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；那么，周期信号可否实现傅里叶变换在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号FSDiscreteTimeFourierTransform,DTFT1.3.2离散时间信号的傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义离散傅立叶级数（DFS）这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即和都是周期的！12/010()(),1()(),0,1,,1NnkjNNNnNnkNkXkxnWWexnXkWnkNN()xn()Xk1.3.3离散傅立叶变换（DFT）DFT的性质：1.线性2.正交性111,,NNNNNXWxWWxWX000001210242(_1)012(1)(1)(1)[]NnkNNNNNNW正交阵3.循环移位DFT[()]()DFT[()]()kmkmxnmWXkxnmWXk21()()NmjrmkNrmxre210()(),:NjnkNnXkxnmeletnmr2211()()NNmjrkjrkmkNNNrmrNWxrexre()mkNWXk为实序列：4.奇、偶、虚、实对称性质()xn()()()()()()()()()()()arg()arg()RRRIIIXkXkXNkXkXkXNkXkXkXNkXkXNkXkXk5.Parseval’s定理2211001()()NNnkxnXkN6.卷积线性卷积0()()(),():21kynxkhnkynN都是点序列(),xnN()hn1.从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；2.FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：但DFT并不是“第五种”傅立叶变换！为什么要由DFS过渡到DFT？四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续散和周期周期和离散一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期1.4z变换nnznxzX)()(0()()nnXzxnz1.4.2Z变换的收敛域幂级数条件：除外，还取决于的取值()xnrNote:r是的模，所以ROC具有“圆”，或“环”的形状z例1：10011()()1,ROC1()1nnnnnXzazazifazthatiszathenXzaza1()zXzza1.4.4逆Z变换{1.长除法2.部分分式法3.留数法连续系统的描述：微分方程,卷积，转移函数（Laplace变换）,频率响应（Fourier变换）1.5离散时间系统离散系统的描述：差分方程,卷积，转移函数（Z变换）,频率响应（DTFT,DFT）令则()hn描述了离散系统的特征，是重要的“物理量”，由可得到()hn(),()jHzHe例:IIR系统即例有限长：FIR系统1.线性Linear含意：该系统满足迭加原理2.移不变性ShiftInvariantLinear-ShiftInvariantSystemLSI含意：移不变性质保证对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关。等同于:移不变性的图示说明：3.因果性Causality因果系统非因果系统含意：一个实际的物理系统，其当前时刻的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。4.稳定性Stability若：有：,RQ含意：输入有界，输出也有界,BIBOBounded-input,Bounded-output定义如果因果信号例1:如何判断：线性？移不变？因果？稳定？线性！则所以：系统对的输出是()xn()nxn对的输出是()xnk()nxnk而：由于：()()[()]ynnxnTxn()()()ynknkxnk所以：()[()]ynkTxnk本系统不具备移不变性！()()ynAxnB例2：所以本系统是非线性系统1.为常数2.无常数项3.为一次幂4.时间，也为一次幂线性移不变系统的一般形式：与信号处理直接有关的MATLAB工具箱（Toolbox）SignalProcessing(信号处理工具箱）Wavelet(小波工具箱)ImageProcessing（图象处理工具箱）Higher-OrderSpectralAnalysis（高阶谱分析工具箱）与信号处理间接有关的MATLAB工具箱ControlSystem(控制系统)Communication（通信）SystemIdentification（系统辨识）Statistics（统计）NeuralNetwork(神经网络)如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：ω=ΩT式中T是采样周期T=1/fs/1()()sjasTksXeXjjkT周期延拓，无穷迭加()jXe迭加后可能产生的影响