数分定积分的应用习题课.

定积分的应用习题课微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,],[)(定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa2、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U.3、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值．如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U．4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积xyo)(xfybadxxfA)(xyo)(1xfy)(2xfybadxxfxfA)]()([12AA直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21)()(ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.参数方程所表示的函数dA2)]([21xod)(rxo)(2r)(1rdA)]()([212122极坐标情形(2)体积dxxxyodxxfVba2)]([dyyVdc2)]([xyo)(yxcdxobadxxAV)(xdxxab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3)平面曲线的弧长xoyabxdxxdy弧长dxysba21A．曲线弧为)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数弧长dttts)()(22)(xfyB．曲线弧为C．曲线弧为)()(rr弧长drrs)()(22(4)旋转体的侧面积xdxxxyo)(xfybxaxfy,0)(badxxfxfS)(1)(22侧(5)细棒的质量oxdxx)(xxllldxxdmm00)((6)转动惯量abxyxdxxobabayydxxxdII)(2))((为线密度x(7)变力所作的功)(xFoabxdxxxbabadxxFdWW)((8)水压力xyoabxdxx)(xfbabadxxxfdPP)()(为比重(9)引力xyxdxxoAllllllyyxadxGadFF2322)(.0xF)(为引力系数G(10)函数的平均值badxxfaby)(1(11)均方根badxxfaby)(12二、典型例题例1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知ataytaxaaoyx解.10A设面积为由对称性,有aydxA040223)sin(cos3sin4dtttata20642]sin[sin12dttta.832a.20L设弧长为由对称性,有2022)()(4dtyxL20sincos34tdtta.6a.,30VS体积为设旋转体的表面积为由对称性,有axdxyyS02122203sincos3sin4tdttata.5122aadxyV02202262)sin(cos3sin2dtttata20273)sin1(sin6dttta.105323a例2?,)2(;)0()1(.至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒RhhRaoxyRh解如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(2222RyyRyRyRx时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh0202)2()(,th时已注水的时间为又设水深,)(athV则有atdyyRyh02)2(即得求导两边对,t,)2(2adtdhhRh故所求速度为.)2(2hRhadtdh.)2(所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从dyyRyy)0()1(),(2水的比重yRdyx,222yRyx又.))(2(2dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为RdyyRyRyW02))(2(RdyyRyyR0322)32(.44R例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解:取x为积分变量,变化区间为[R,R],在[R,R]上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体,截面的面积tan)(21tan21)(22xRyyxARRoxyyx222RyxRRdxxAV)(RRdxxRtan)(2122RRxxR3tan2132tan323R.32:423的长度的一段弧到从上相应于计算曲线例baxxy解:21xydxxdxyds112弧长元素232323)1()1(32)1(321abxdxxsbaba弧长oyxba2332xy,)(kxxf101)(dxxfw,2k.)(0hhdxxfw例5用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为n设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为解hhkxdxw0,22kh1nwwh22kh,2kn,nh.1nn次击入的总深度为n第次击入的深度为n依题意知，每次锤击所作的功相等．例6有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，计算该棒对质点M的引力．2l2lxyoMa取y为积分变量取任一小区间],[dyyy,2,2lly,dyrydyy小段的质量为将典型小段近似看成质点建立坐标系如图解小段与质点的距离为,22yar,22yadymkF,)(2322yadyamkdFx2322)(22yadyamkFllx,)4(22122laalkm.0yF由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力例7.,4,20,3050,,的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解xyo164xdxxAB如图建立坐标系,的方程为则梯形的腰AB.2321xy此闸门一侧受到静水压力为160)2321(2dxxgxP16023)233(xxg)25623409631(gg67.4522).(1043.47牛例8求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形22)(xRhyhxAdxxRhVRR22.212hR取坐标系如图解底圆方程为截面面积立体体积