数字信号处理第二章Z变换5序列的傅立叶变换

2.6序列的傅立叶变换及其性质1、概念：一个离散时间(非周期)信号及其频谱的关系，可以用序列的傅立叶变换来表示。离散时间信号（DiscreteTimeSignal）正变换：nnjjenxeXnxDTFT)()()]([（正变换可由z变换得来，它是z变换在单位圆上的特例）反变换：deeXnxeXDTFTnjjj)(21)()]([12、几点说明：(1)正变换的收敛条件为：nnnjnxenx|)(||)(|说明：若序列x(n)绝对可和，则它的傅立叶变换一定存在且连续。(2)X(ej)的特性：由于时域上x(n)的离散，使得频域上的X(ej)出现周期的特性，周期为2。)()()2(jjeXeX3、正、反变换的由来：(1)正变换：可由z变换定义得到。)]([nxDTFTjeznnznx)(nnjenx)((2)反变换：若序列的z变换在单位圆上收敛时：cndzzzXjnx1)(21)()()(21jjnjjedeeeXjjdeeeeXjjjnjj)(21deeXnjj)(211.FT的周期性(2)(2)2()()()()()jMjMnnjnjMnnjnjnXexnexneexneXe4、序列傅立叶变换的性质：2.FT的线性11221212()()()()()()()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe3.FT的时移与频移0000()()()()()()()jjnjjnjXeFTxnFTxnneXeFTexnXe时移特性频移特性4.FT的时域卷积定理()()()()()()jjjynxnhnYeXeHe5.FT的频域卷积定理()()()()1()()()21()()2jjjjjynxnhnYeXeHeXeHed6.帕斯瓦尔定理221()()2jnxnXed信号时域的总能量等于频域的总能量7.FT的对称性实部对应的FT具有共轭对称性()()()()()()rijjjeoxnxnjxnXeXeXe序列的共轭对称部分对应FT的实部()()()()()()eojjjRIxnxnxnXeXejXe虚部与j对应的FT具有共轭反对称性序列的共轭反对称部分对应FT的虚部与j(1)共轭对称序列与共轭反对称序列共轭对称序列：)()(nxnxee若：xe(n)=xer(n)+jxei(n)则：xe*(-n)=xer(-n)-jxei(-n)有：xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)实部为偶函数虚部为奇函数共轭反对称序列：)()(nxnxoo若：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)则：-xo*(-n)=-xor(-n)+jxoi(-n)有：xor(n)=-xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)实部为奇函数虚部为偶函数7.FT的对称性例：x(n)=ejn的对称性。njnjeenx)()()()sin()cos(njn)sin()cos(njn可以看出，x(n)=x*(-n)，所以x(n)是共轭对称序列。另外：从x(n)的实部和虚部来看：njex(n)的实部：cos(n)=cos(-n)，为偶函数。x(n)的虚部：sin(n)=-sin(-n)，为奇函数。这也说明了x(n)为共轭对称序列。(2)用共轭对称序列和共轭反对称序列表示一般序列一般序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。x(n)=xe(n)+xo(n)x*(-n)=xe*(-n)+xo*(-n)=xe(n)-xo(n)xe(n)=½[x(n)+x*(-n)]xo(n)=½[x(n)-x*(-n)](3)对于频域函数X(ej)，也有类似的结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=Xe*(e-j)Xo(ej)=-Xo*(e-j)共轭对称共轭反对称Xe(ej)=½[X(ej)+X*(e-j)]Xo(ej)=½[X(ej)-X*(e-j)](4)由(1)、(2)、(3)得到以下一些性质：①序列实部的傅立叶变换等于序列傅立叶变换的共轭对称分量DTFT[Re[x(n)]]Xe(ej)②序列虚部的傅立叶变换等于序列傅立叶变换的共轭反对称分量DTFT[jIm[x(n)]]Xo(ej)证明①：设：x(n)=xr(n)+jxi(n)(其中，xr(n)和xi(n)为实序列)nnjrrjenxnxDTFTeX)()]([)(?nnjrjenxeX)()(?nnjrenx)(nnjrenx)()()(??jjeXeX)()(?jejeeXeXe，即：是此处②的证明类似①③序列的共轭对称分量和共轭反对称分量的DTFT分别等于序列傅立叶变换的实部和虚部。DTFT[xe(n)]Re[X(ej)]DTFT[xo(n)]jIm[X(ej)]证明：DTFT[xe(n)]=DTFT[½[x(n)+x*(-n)]]=½[X(ej)+X*(ej)]=Re[X(ej)]DTFT[xo(n)]=DTFT[½[x(n)-x*(-n)]]=½[X(ej)-X*(ej)]=jIm[X(ej)]④特殊情况：当x(n)为实序列时，X(ej)应该只剩下共轭对称分量。X(ej)=X*(e-j)Re[X(ej)]=Re[X(e-j)]Im[X(ej)]=-Im[X(e-j)]|X(ej)|=|X(e-j)|arg[X(ej)]=-arg[X(e-j)]请参阅书P32，当x(n)为实因果序列时的讨论。序列傅里叶变换的主要性质