复合函数的零点问题

第1页（共52页）复合函数的零点问题题组训练一1.（2019•南宁一模）已知函数1,0()()3,0xexfxaRxaxx„，若方程(())20ffx恰有5个不同的根，则a的取值范围是()A．(,0)B．(0,)C．(0,1)D．(1,)解：当0x时，1()xefxx，12(1)()xexfxx，当01x时，()0fx，函数()fx单调递减；当1x时，()0fx，函数()fx单调递增，所以()minfxf（1）1，当0x„时，()3fxax的图象恒过点(0,3)，当0a„，0x„时，()(0)3fxf…，当0a，0x„时，()(0)3fxf„，作出大致图象如图所示．方程(())20ffx有5个不同的根，即方程(())2ffx有五个解，设()tfx，则()2ft．结合图象可知，当0a时，方程()2ft有三个根1(,0)t，2(0,1)t，3(1,3)t．2((3)23ef，313)t，于是1()fxt有一个解，2()fxt有一个解，3()fxt有三个解，共有5个解，而当0a„时，结合图象可知，方程(())2ffx不可能有5个解．综上所述：方程(())20ffx在0a时恰有5个不同的根．故选：B．2.（2017秋•青羊区校级月考）设函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，若关于x的方程()log0(0afxxa且1)a在区间[1，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(2,)eC．(3,)D．(,3)e第2页（共52页）解：函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，在区间[1，5]上的图象如图：关于x的方程()log0(0afxxa且1)a在区间[0，5]内恰有5个不同的根，就是()logafxx恰有5个不同的根，显然01a不成立，1a，函数()yfx与函数logayx恰有5个不同的交点，由图象可得：2244aaloglog，解得2a．故选：B．3.（2018春•衡阳县期末）函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，若关于x的方程()log(1)0(0afxxa且1)a在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是(3，)．．解：函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，在区间[1，5]上的图象如图：方程()log(1)0(0afxxa且1)a在区间[0，5]内恰有5个不同的根，就是()log(1)afxx恰有5个不同的根，函数()yfx与函数log(1)ayx恰有5个不同的交点，3254aaloglog解得3a．第3页（共52页）故答案为：(3，)．4.（2018•陆川县校级模拟）设函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，若关于x的方程()log(1)0(0afxxa且1)a在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．4(5，)C．(3，)D．4(5，3)解：函数2(2),(1,)()1||,[1,1]fxxfxxx，x在区间[1，5]上的图象如图：关于x的方程()log(1)0(0afxxa且1)a在区间[0，5]内恰有5个不同的根，就是()log(1)afxx恰有5个不同的根，函数()yfx与函数log(1)ayx恰有5个不同的交点，由图象可得：3254aaloglog，解得3a．故选：C．第4页（共52页）5.（2016•郑州校级模拟）已知函数()yfx是定义域为R的偶函数．当0x…时，5sin()(01)42()1()1(1)4xxxfxx剟，若关于x的方程25[()](56)()60()fxafxaaR，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是()A．01a或54aB．01a剟或54aC．01a„或54aD．514a„或0a解：函数()yfx是定义域为R的偶函数，当0x…时，5sin()(01)42()1()1(1)4xxxfxx剟，当0x时，5sin(),10()4241,1xxxfxx剟．作出函数()fx的图象如右．由于关于x的方程25[()](56)()60fxafxa，解得()fxa或6()5fx，当01x剟时，()[0fx，5]4，1x时，()(1fx，5)4．由65154，则6()5fx有4个实根，由题意，只要()fxa有2个实根，则由图象可得当01a„时，()fxa有2个实根，当54a时，()fxa有2个实根．综上可得：01a„或54a．故选：C．6.（2017秋•定州市校级期末）已知定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx，且第5页（共52页）22log(1),(1,0]()173,(,1]22xxfxxxx，若关于x的方程()()fxttR恰有5个不同的实数根1x，2x，3x，4x，5x，则12345xxxxx的取值范围是()A．(2,1)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,3)解：()()0fxfx，()fx是奇函数，()fx的函数图象关于原点对称．作出函数()fx的图象如图所示：由图象可知(1,1)t，设12345xxxxx，根据二次函数的对称性可知：126xx，311x，456xx，123453(1,1)xxxxxx．故选：B．7.（2016春•重庆校级期末）已知定义在R上的偶函数()gx满足()(2)0gxgx，函数2()1fxx的图象是()gx的图象的一部分．若关于x的方程22()(1)gxax有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．1(8，)B．1(3，22)3C．2(4，)D．(22，3)解：定义在R上的偶函数()gx满足()(2)0gxgx，()(2)(2)gxgxgx，则(2)()gxgx，即(4)(2)(())()gxgxgxgx，则函数()gx是周期为4的周期函数，函数2()1fxx的定义域为[1，1]，若12x剟，则21x剟，则021x剟，此时2()(2)1(2)gxgxx，当21x剟，则12x剟，则2()()1(2)gxgxx第6页（共52页）则由22()(1)gxax得，当21x剟时，221(2)(1)xax，作出函数()gx的图象如图：若方程22()(1)gxax有3个不同的实数根，则当0a„时，不满足条件．则当0a时，方程等价为2()(1)|1|gxaxax，则当1x时，方程()|1|gxax恒成立，此时恒有一解，当直线(1)yax与()gx在(4,3)相切时，此时方程()|1|gxax有6个交点，不满足条件．当(1)yax与()gx在(4,3)不相切时，满足方程()|1|gxax有三个交点，此时直线方程为0axya，满足圆心(4,0)到直线0axya，的距离|4|11aada，即311aa，即31aa，平方得91aa，得81a，则18a，故选：A．8.（2019春•江宁区期末）已知函数()yfx是定义域为R的偶函数．当0x…时，25(02)16()1()1(2)2xxxfxx剟，关于x的方程2[()]()0fxafxb，a，bR有且仅有5个不同实数根，则实数ab的取值范围是5(4，1)．第7页（共52页）解：当0x…时，25(02)16()1()1(2)2xxxfxx剟，可得()fx的最大值为54，作出()fx的函数图象如图所示：令()fxt，显然，当0t时，方程()fxt只有一解0x，当514t时，方程()fxt有四个解，当1t或54时，方程()fxt有两解，当0t或54t时，方程()fxt无解．关于x的方程2[()]()0fxafxb，a，bR有且仅有5个不同实数根，关于t的方程20tatb，tR有两解，且一解为10t，另一解25(1,)4t，0b，20tat的两解分别为10t，2ta，514a，解得514a．可得ab的范围是5(4，1)．故答案为：5(4，1)．9.（2015•德阳模拟）已知周期为4的函数21,(11)()1|2|,(13)mxxfxxx剟„，其中0m，若关于x的方，3()fxx恰有5个不同实数解，则m的取值范围是()A．15(3，7)B．4(3，7)C．4(3，5)3D．15(3，3)解：当([1x，1]时，将函数化为方程2221(0)yxym…，实质上为半椭圆，第8页（共52页）根据函数是周期为4的函数，当(1x，1]，[3，5]，[7，9]上时，()fx的图象也为半个椭圆，同时在坐标系中作出当(1x，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，其图象如图所示，由图易知直线3xy与第二个椭圆222(4)1(0)yxym…相交，而与第三个半椭圆222(8)1yxm(0)y…无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy代入222(4)1yxm(0)y…得，2222(91)721350mxmxm，令29(0)tmt，则2(1)8150txtxt，由△2(8)415tt(1)0t，得15t，由2915m，且0m得153m，同样由3xy与第三个椭圆222(8)1yxm(0)y…无公共点时，由△0可计算得7m，综上可知15(3m，7)故选：A．10.（2014秋•温州期末）已知定义在实数集R上的函数()fx满足：①对任意实数都有(2)()fxfx；②当[1x，1]时，()cos2fxx．若关于x方程()fxa在区间[0，3]上恰有三个不同的实数解1x，2x，3x，则123xxx的取值范围为()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)解：由(2)()fxfx得函数的周期为2；当[1x，1]时，()cos2fxx．作出函数()fx在区间[0，3]上的图象如图，关于x方程()fxa在区间[0，3]上恰有三个不同的实数解1x，2x，3x，不妨设123xxx，第9页（共52页）则满足101x，2x，3x，关于2x对称，即234xx，则12314xxxx，101x，1445x，即123xxx的取值范围为(4,5)，故选：C．11.（2016秋•黄山期末）函数()yfx是定义域为R的偶函数，当0x…时，21(02)16()1()(2)2xxxfxx剟，若关于x的方程2[()]()0fxafxb，a，bR有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是()A．1(4，0)B．1(2，1)4C．1(2，11)(44，1)8D．1(2，1)8解：作出()fx的函数图象如图所示：令()fxt，显然，当0t时，方程()fxt只有一解0x，当104t时，方程()fxt有四个解，第10页（共52页）当14t时，方程()fxt有两解，当0t或14t时，方程()fxt无解．关于x的方程2[()]()0fxafxb