2.3幂函数(教学设计)正式版

2.3幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,xyxyxyxyxy的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积2aS，这里S是a的函数；（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积3aV，这里V是a的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长21Sa，这里a是S的函数；（5）如果某人ts内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度1tvkm/s，这里v是t的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．从上述函数中，我们观察到，它们都是形如yx的函数．二、师生互动，新课讲解：1、幂函数的定义一般地，函数xy)(Ra叫做幂函数（powerfunction），其中x是自变量，是常数．对于幂函数xy，我们只讨论1,21,3,2,1时的情形．2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数xy；21xy；2xy；1xy；3xy的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数xy；21xy；2xy；3xy和1xy的图象都通过点（1，1）；（2）函数xy；3xy；1xy是奇函数，函数2xy是偶函数；（3）在区间),0(上，函数xy，2xy，3xy和21xy是增函数，函数1xy是减函数；（4）在第一象限内，函数1xy的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数xy在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数；1时，图象向上，靠近y轴；01，图景向上，靠近x轴；=1是条直线。（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴；（4）幂函数xy的图象，在第一象限内，直线1x的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y轴和直线1x之间，图象由上至下，指数由小到大．课堂练习：已知幂函数xy在第一象限内的图象如图所示，且分别取11122，，，四个值，则相应于曲线1234CCCC，，，的的值依次为．xy2xy3xy21xy1xy定义域RRR),0[}0|{xx值域R),0[R),0[}0|{yy奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增公共点（1,1）例1：（课本第78页例1）证明幂函数xxf)(在),0[上是增函数．变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2；（2）5631.0，5635.0；（3）23)2(，23)3(；（4）211.1，219.0．例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：（1）3yx；（2）2yx；（3）12yx；（4）13yx解（1）函数3yx的定义域是R，它是奇函数；（2）函数2yx即21yx，其定义域是(,0)(0,)，它是偶函数；（3）函数12yx即yx，其定义域是[0,)，它既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数13yx即3yx，其定义域是R，它是奇函数．变式训练2：（1）.设11132a，，，，则使函数ayx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（A）．(A)1，3(B)1，1(C)1，3(D)1，1，3（2）.若函数3()()fxxxR，则函数()yfx在其定义域上是（B）．(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单调递增的偶函数(D)单调递增的奇函数（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，19)，则其定义域为()A．{x|x∈R，x0}B．{x|x∈R，x0}C．{x|x∈R，且x≠0}D．R解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，19)，∴19＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝1x2，∴x2≠0，即x≠0.答案：C例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。变式训练3：已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－30，∴－1m3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.答案：1布置作业：A组：1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.答案：B2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n(－15)n，则n＝__________.解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．答案：－1或23．（课本P79习题2.3NO:1）已知幂函数)(xfy的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．4．(课本P79习题2.3NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．5．讨论函数32xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．6．已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f(4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m＝1.(2)f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1－x1)－(2x2－x2)＝(x2－x1)(2x1x2＋1)．∵0x1x2，∴x2－x10，2x1x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，即f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减．B组：1．如果幂函数f(x)＝(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p2＋p＋320，即p2－2p－30.∴－1p3，又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x2.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是