中山市高二级2016—2017学年度第一学期期末统一考试(数学.理)

高二数学（理科）试卷第1页（共4页）中山市高二年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设命题p：(0,)x，2logxx，则p为A．(0,)x，2logxxB．(0,)x，2logxxC．(0,)x，2logxxD．(0,)x，2logxx2.双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线方程为2yx，则C的离心率是A．5B．2C．2D．523.等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝14．已知集合2{|280}Axxx，{|15},BxxUR，则()UCABUA．(4,1]B．[4,1)C．(2,1]D．[2,1)5.已知0a，0b，11abab，则12ab的最小值为A．4B．22C．8D．166.已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若1611161133,7aaabbb,则39481bbaa的值是A.74B.74C.73D.73高二数学（理科）试卷第2页（共4页）7.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是A．(1，－1，0)B．(－1，1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)8.数列na满足：11nnaa（n，R且0），若数列1na是等比数列，则的值等于A．1B．1C．12D．29.某同学利用图形计算器探索两个函数图像的位置关系，如下图所示.该同学发现改变参数a值，两函数图像的位置关系有相交与相离，试问当两函数图像相离时，实数a的取值范围是A.)2,2(B.]2,2(C.,22,UD.)2,(10．设曲线1()nyxn*N在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,则201712017220172016logloglogxxxggg的值为A．2017log2016B．2017log20161C．1D．111．不等式组2503020≤≥≤xyxyxy的解集记为D，11yzx，有下面四个命题：p1：(,)xyD，1≥zp2：(,)xyD，1≥zp3：(,)xyD，2≤zp4：(,)xyD，0z其中的真命题是A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p312.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)xyabab，则椭圆在其上一点00(,)Axy处的切线方程为00221xxyyab，试运用该性质解决以下问题：椭圆22122:1(0)xyCabab，其焦距为2，且过点2(1,)2．点B为1C在第一象限中高二数学（理科）试卷第3页（共4页）的任意一点，过B作1C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于,CD两点，则OCD面积的最小值为A．3B．22C．2D．2二、填空题（本大题共4小题，考每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13.若函数3()xxfxe在0xx处取得极值，则0x.14.倾斜角为45的直线l经过抛物线28yx的焦点F，且l与抛物线交于A，B两点，则||AB=.15.已知实数,xy满足401010xyyx，则2yzx的最大值是.16.在ABCV中角A，B，C的对边分别是,,abc，且sinsinsin23sinsin3aAbBcCaBC，23a，若[1,3]b，则c的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知ABC的三个内角CBA,,所对的边分别为cba,,，A是锐角，且Babsin23.(1)求A；(2)若7a，ABC的面积为103，求bc的值．18.（本小题满分10分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．高二数学（理科）试卷第4页（共4页）19．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS*()nN，且满足21nnaSn．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求证：21223111112223nnnaaaaaaL．20.（本小题满分12分）用空间向量方法解决下列问题.如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求证：D1O⊥平面AB1C；（3）求二面角B­AB1­C的大小．21.（本小题满分12分）已知函数2()(21)lnfxxaxax.（1）若()fx在区间1,2上是单调函数，求实数x的取值范围；（2）函数()(1)gxax，若0[1,]xe使得00()()fxgx成立，求实数x的取值范围.22．（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的一个焦点与抛物线22:2(0)Cypxp的焦点F重合，且点F到直线10xy的距离为2，1C与2C的公共弦长为26.（1）求椭圆1C的方程及点F的坐标；（2）过点F的直线l与1C交于,AB两点，与2C交于,CD两点，求11||||ABCD的取值范围.高二数学（理科）试卷第5页（共4页）中山市高二年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：BABABDADBCDC二、填空题：13．4；15．16；15．9；16．3.三、解答题：17.解：（1）由Babsin233sin2sinsinBAB3sin2A,……4分又A是锐角，所以60A.……6分（2）由面积公式13sin10324SbcAbc40bc，……9分又由余弦定理得：2222cos4913abcbcAbc.……12分18.解：设这台机器最佳使用年限是n年，则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：230.20.30.40.1(1)20nnn，……2分∴总费用为：22n3770.20.2n7.22020nnn.……4分2n77.27.220:y0.35(),20nnnnn年的年平均费用为……6分7.27.221.2,2020nn等号当且仅当7.2n12.20nn即时成立……8分∴miny0.351.21.55(万元）……9分答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元……10分19.解：（1）∵21nnaSn，令1n，得123a，132a．----2分∵21nnaSn，∴112(1)1nnaSn，*(2,)nnN两式相减，得122nnaa，整理1112nnaa---------------------4分112(2)2nnaa，(2)n∴数列{2}na是首项为1122a，公比为12的等比数列高二数学（理科）试卷第6页（共4页）∴12()2nna，∴122nna．------------------------------6分（2）∵1121212111121121212(21)(21)2121222nnnnnnnnnnnnnaa--8分212231111222nnnaaaaaaL233412111111()()()212121212121nnL21113213n．------------------------------12分20.解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.连接D1O，则点O(1，1，0)，D1(0，0，2)，则OD1→＝(－1，－1，2)．又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，∴BM→＝(－1，－1，2)，∴OD1→＝BM→，且OD1与BM不共线，∴OD1∥BM.又D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC.……4分(2)证明：∵B1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴OD1→·OB1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0，OD1→·AC→＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0，∴OD1→⊥OB1→，OD1→⊥AC→，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC.又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.……8分(3)∵CB⊥AB，CB⊥BB1，∴CB⊥平面ABB1，∴BC→＝(－2，0，0)为平面ABB1的法向量．∵OD1→⊥OB1→，OD1→⊥AC→，∴OD1→＝(－1，－1，2)为平面AB1C的法向量．∴二面角B­AB1­C的大小等于BC→与OD1→的夹角．∵cos〈BC→，OD1→〉＝BC→·OD1→|BC→||OD1→|＝（－2，0，0）·（－1，－1，2）（－2）2×（－1）2＋（－1）2＋（2）2＝12，∴BC→与OD1→的夹角为60°，即二面角B­AB1­C的大小为60°.……12分21.解：⑴'(21)()()xxafxxLLLLL2分当导函数'()fx的零点xa落在区间(1,2)内时，函数()fx在区间1,2上就不是单调函数，高二数学（理科）试卷第7页（共4页）所以实数a的取值范围是：1,2或aa；LLLLL6分（也可以转化为恒成立问题。酌情给分。）（还可以对方程(21)()0xxa的两根讨论，求得答案。酌情给分）⑵由题意知,不等式()()fxgx在区间[1,]e上有解，即22(ln)0xxaxx在区间[1,]e上有解．LLLLL7分Q当[1,]xe时，ln1xx（不同时取等号），ln0xx，22lnxxaxx在区间[1,]e上有解．LLLLL8分令22()lnxxhxxx，则'2(1)(22ln)()(ln)xxxhxxxLLLLL9分[1,]xeQ222lnxx'()0hx()hx单调递增，[1,]xe时，max(2)()()1eehxheeLLLLL11分(2)1eeae所以实数a的取值范围是(，(2)]1eee…………12分22．解：（1）∵22:2Cypx的焦点F的坐标为(,0)2p由点F到直线10xy的距离为2得|1|222p∵0p解得2p………………1分又(1)，0F为椭圆的一个焦点∴221ab①………………2分∵1C与2C的公共弦长为26，1C与2C都关于x轴对称，而2C的方程为24yx，从而1C与2C的公共点的坐标为3(,6)2………3分∴229614ab②联立①②解得229,8ab，………………4分∴1C的方程为22198xy