工程力学教案5

1课时授课计划（第7讲）课题名称：§3-1平面汇交力系的平衡方程及应用§3-2平面任意力系的平衡方程及应用教学目的：理解平面力系平衡方程的物理意义，熟练掌握平面力系平衡方程的应用。教学重点：平面力系平衡方程的应用教学难点：工程实例分析教学方法：讲授作业及要求：①思考题：3-13-3②习题：3-13-23-4班级周次日期第节授课人室主任签字课堂环节组织教学导入新课讲授新课巩固新课布置作业时间分配28781022一、平面汇交力系平衡的几何条件当这一合力等于零时，刚体处于平衡状态，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力等于零。即：R=∑F=0求平面汇交力系的合力时，对应的力的多边形的封闭边矢量等于零，力的多边形的起点和终点重合，力的多边形自行封闭。二、平面汇交力系平衡的平衡方程及应用投影平衡方程为：∑X=0∑Y=0（3-1）上式说明，平面汇交力系的平衡方程是：力系中的各力分别在两个坐标轴上的投影的代数和等于零。平面汇交力系的平衡方程组有两个独立的方程，能求解且只能解两个未知量。其中的未知量包括未知力的大小和方向。另外，两个坐标轴可任取，但应尽可能与力系中多数力的作用线相交或平行，从而使计算简单。例3-1如图3-1所示，已知重为P的钢管被吊索AC、AB吊在空中，不计吊钩和吊索的自重，当重力P和夹角θ已知时，求吊索AC、BC所受的力。解：经分析结构的特点及所受的力，选吊钩为研究对象，分析其所受的力系为一汇交力系，列平衡方0X0sinsin21SS30Y0coscos21SST解得：cos2cos221PTSS例3-2简易起吊机构如图所示，重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB、AC支撑，定滑轮的直径很小，可忽略不计，设重物的重量W=2KN，其余各构件的自重不计，忽略摩擦，求直杆AB、AC所受的力。解：结构中的直杆AB、AC均是二力杆，所受的力及对外施加的反汇交于定滑轮A上，因此，可选取定滑轮A为研究对象，其受力图如图3-2所示，所受的力系是一个汇交力系，列平衡方程并求解：0X00cos30sin300ABACNNF0Y030cos30sin00WFNAC将相关数值代入方程中，其中F=W=2kN,解得：7.46ACNkN5.46ABNkNAC杆受的力求出是负值，说明实际力的方向与图示的方向相反，即杆AC受压。一、平面任意力系的平衡方程及应用41．一般情况下的平衡方程平面任意力系向一点简化得到一个主矢R和一个主矩M，当主矢和主矩同时为零时，力系平衡。所以平面任意力系平衡的充分必要条件是：R=0M=0于是，力系的平衡方程为：∑X=0∑Y=0∑mo(F)=0上式说明：平面任意力系平衡时，力系中各力分别向两个轴投影的代数和为零，力系中的各力对其作用面内的任一点力矩代数和为零。由于方程中含有一个力矩式子，因此这一方程组称为一矩式。二矩式平衡方程：∑X=0∑mA(F)=0∑mB(F)=0这一方程组有两个力矩式子和一个投影式子。方程组适用条件是：x轴与A、B两点的连线不能垂直。三矩式平衡方程：∑mA(F)=0∑mB(F)=0∑mc(F)=0这一方程组有三个力矩式子。方程组适用条件是：A、B、C三点不共线。上述三个平衡方程组在解决实际问题时是等效的，人们可根据问题的条件选择适当的方程组解题。2．特殊情况下（平行力系的平衡）的平衡方程5∑Y=0∑mo(F)=0二、物体系统的平衡问题前面讨论的问题都是一个物体的平衡问题，在工程实际中，许多机构和结构是由若干构件以一定的约束结合而成的系统，称之为物体系统，简称为物系。物系的平衡问题是比较常见的问题。例3-3如图3-4所示，水平横梁AB的A端为固定铰支座，B端为一活动铰支座，设梁长为2L，梁重为P，重心在梁的中点C，在梁的AC段上受均布荷载的作用，在梁的BC段上受力偶M=PL作用。求A、B处的支座反力。解：建立坐标系并选择一矩式列平衡方程：0X0AX0FmA022LqLPLMLYB得：qLPYB410Y0PqLYYBA得：qLYB43例3-4如图3-5a所示为一悬臂式起重机，梁AB的A端用铰链固定于墙6面上，B端用拉杆BC拉住，梁的自重P=8KN，载荷重Q=20KN，梁的尺寸如图所示。求拉杆BC所受的拉力及铰链A处的约束反力。解：此题可用一矩式也可以选择二矩式解。列一矩式方程：0FmA030sin0AEQADPABT（1）代数并求得：042038216T得：34.67TkN0X030cos0TXA（2）得：0cos3030.02AXTkN0Y030sin0QPTYA（3）得：10.67AYkN列二矩式方程：0FmA030sin0AEQADPABT（4）得：34.67TkN0X030cos0TXA（5）得：0cos3030.02AXTkN0FmB0ABYBEQBDPA（6）得：10.67AYkN7课时授课计划（第8讲）课题名称：习题课教学目的：熟练掌握平面力系平衡方程的应用，提高分析问题和解决问题的能力。教学重点：平面力系平衡方程的应用教学难点：实例分析教学方法：讲授作业及要求：①思考题：3-5②习题：3-83-93-123-14班级周次日期第节授课人室主任签字课堂环节组织教学归纳复习课堂练习教学指导布置作业时间分配228482028例3-5塔式起重机的结构简图如图3-6所示，设机架自重为W，且W的作用线距右轨B的距离为e，起吊载荷的重为P，离右轨B的最远距离为L，设机架平衡时平衡块重为Q，离左轨A的距离为a，AB间的距离为b。欲使起重机在空载和满载且载重P在最远处时均不翻倒，求平衡块重Q应为多少。解；（1）空载情况空载时P=0。如整机翻倒，只能以A为矩心，向左翻倒，此时右轨B上所受的压力为零。因此，要保证起重机不翻倒，必须满足条件：0BN列平衡方程：0FmA0ebWaQbNB得：aQebWbNB1根据整机不翻倒的条件：0BN有：01aQebWb得：aebWQ（2）满载情况要使满载且载重处于最远端时整机不翻倒的条件是：0AN列平衡方程：90FmB0)(bNPLeWbaQA得：1ANWePLQbab按满载切载荷处于最远端时整机不翻倒的条件：0BN有：01abQPLWeb得：baPLWeQ综上所述，要想整机无论在空载还是在满载且载荷处于最远端时都不翻倒，则平衡块的重量必须要满足的条件是：baPLWeQebWa1例3-6如图3-7所示，组合梁的AC和CD在C点铰接，已知q=1KN/m,M=10KNm,不计梁的自重，求支座A、B、D及C处的约束反力。解：此题要求解的未知量共有六个，最少需要选择两个研究对象。0X0CX0Fmc0124qMYD3DYkN0Y02qYYDC1CYkN10在以AC部分为研究对象，解出其余的未知力。画受力图，列平衡方程：0X0CAXX得：0AX0FmA03224'qYYBC1BYkN0FmB01222'qYYCA0AY题中的均布荷载作用在AE间，当我们将梁拆开时，荷载也被分成两部分，当取其中的一部分为研究对象时，就只考虑作用在其上的均布荷载，而不能考虑整个均布荷载。例3-7在图3-8的三铰拱中，均布荷载作用在拱顶，不计结构的自重，求A、B处的支座反力。解：先以整个拱为研究对象，画受力图，列平衡方程：0FmA022aaqaYB0FmB022aaqaYA0X0BAXX可解出：qaYB，qaYA，BAXX再以左半拱为研究对象，列平衡方程：0FmC02aaqaYhXAA解得：hqaXXBA2211例3-8图3-9所示为一冲床机构，由曲柄OA、连杆AB和冲头B构成。其中OA=a，AB=L，摩擦和结构的自重不计，当曲柄在水平位置时，冲头受到的冲压力为Q，求作用在曲柄上的主动力偶M、轴承O处的约束反力、连杆AB所受的力和冲头对轨道的侧压力。解：题中的结构由三部分组成，而且所要求的力即有外力又有系统的内力，因此，必须将结构拆开，选择合适的构件研究。首先从已知力作用的冲头开始研究。1）以冲头为研究对象，受力分析可知冲头受的力系为平面汇交力系，列平衡方程；0Y0cosBSQ22cosaLQLQSB0X0sinBBSN22tanaLQaQNB根据作用和反作用关系可知，冲头对轨道的侧压力大小等于NB。2）以曲柄为研究对象，分析其所受的力，选择相应的平衡方程；0X0sinOAXS0Y0cosAOSY0FmO0cosMSaA又有：22cosaLQLQSSBA12解得：22aLQaXO，QYO，aQM三、平面桁架的内力计算桁架是一种由若干杆件彼此在两端铰接且受力后几何形状不变的结构。组成桁架的各杆处于同一平面的桁架，称为平面桁架。为简化桁架的计算，在不影响计算结果的情况下，工程设计和计算中常作如下假设：1）桁架的杆件都是直杆；2）杆件均为光滑铰链联接；3）杆件所受外荷载均作用在各节点上，且各力的作用线都在桁架平面内；4）桁架中各杆的自重不计，各杆都是二力构件。满足上述假设的桁架称为理想桁架。对桁架的计算，主要是计算在外力的作用下各杆所承受的力，称为内力。计算桁架内力的常用方法有节点法和截面法。1．节点法由于各杆都是二力杆，所受的力沿杆的方向，因此，节点上所受的力系是平面汇交力系，利用一个节点最多只能求出两个未知力。为计算的方便，在力学中规定：杆件所受的拉力为正值；所受的压力为负值。在对选定的节点受力分析时，对未知的内力先假定其受拉，求出的结果是正值时，说明假设正确，如求出的是负值，则说明实际受力方向与假定方向相反。节点法适用于结构较简单，节点较少的桁架结构。例3-9如图3-11所示的平面桁架，在节点D处受一力P=1KN的作用，求桁架各杆的内力。解：（1）先以桁架整体为研究对象，受力分析，画受力图，求支座反力。列平衡方程：130X0BX0FmA024PYBNYB5000FmB042AYPNYA500（2）求各杆内力取节点A:0Y030sin01AYSNS100010X030cos012SSNS8662取节点C:0X0041cos30cos300SS得：NS100040Y0143sin300SSSNS10003取节点D:0X520SS得：NS8665求出的结果是正值的是拉力；求出的结果是负值的是压力。2．截面法当桁架的杆件较多，而只须对几个杆件进行内力计算时，可用截面法。截面法是指用一假想的面在桁架的某一位置将桁架截开，一分为二，选择其中的一部分为研究对象，列方程求解未知量的方法。这种方法选择的研究对象受的力系是一平面任意力系，最多只能解三个未知量，因此，选择的研究对象所受的未知力不能超过三个。受力分析时同样先假定各杆的内力都是拉力。14例3-10如图3-12所示，设平面桁架的各杆长度均为a，所受荷载分别为P1=1kN，P2=2kN，P3=3kN，求该桁架中杆FG的内力。解：先以桁架整体为研究对象，受力分析，画受力图，求支座反力。列平衡方程：0FmA0260sin33201aPaPaPaYB得：2.62BYkN如图，用一平面假想地将桁架截开，取右侧为研究对象，画受力图，列平衡方程：0FmD060sin60sin010aPaYaSBGF得：2.03GFSkN杆件受压。有时，当问题比较复杂时，可以节点法和截