我所认识的应力应变关系

我所认识的应力应变关系洑阳成明化机662080706002应力和应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体受到外界载荷后，在物体内部各部分之间产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的联系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。关于应力应变的关系，我想从以下四点来讲：简单情况下的应力应变关系；弹性阶段的应力应变关系；屈服条件；塑性阶段的应力应变关系。一、简单情况下的应力应变关系在简单情况下，物体只受单向应力，即应力中只有x0，而y、z、xy、yz、zx均为零，产生的应变中xy、yz、zx均为零，x、x、x虽然均不为零，但是三者之间存在一定的关系。简单情况下的应力应变关系如图1所示。（1）弹性阶段（OC段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC，包括：线性弹性阶段OA段，非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数称为弹性模量或杨氏模量，记作：E，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从胡克定律。C点称为屈服点，记为s。（2）塑性阶段（CDEF段）CDE段为强化阶段，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE段的强化阶段在E点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限，记为b。超过强度极限后应力下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”。此时，由于颈缩现象的出现，在E点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化。该阶段应力和应变的关系：()。（3）卸载规律如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D处卸载，应力与应变之间不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA的直线DO′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD′表示总应变ε，O′D′表示可以恢复的弹性应变εe，OO′表示不能恢复的塑性应变εp，则有pe（1-1）即总应变等于弹性应变加上塑性应变。该阶段应力和应变的关系满足E。（4）卸载后重新加载DO′段若在卸载后重新加载，则σ-ε曲线基本上仍沿直线O′D变化，直至应力超过D点的应力之后，才会产生新的塑性变形。为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并用's表示。显然，由于硬化作用，'s＞s，而且与s不同，'s不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。（5）卸载全部载荷后反向加载如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，如将拉伸改为压缩，则σ-ε曲线上弹性阶段OC段沿曲线OA′变化，有ss。DO′D′段沿DO'的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D″点后又开始进入屈服，此时''ss，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger效应。这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。图1简单情况下的应力应变关系二、弹性阶段的应力应变关系1、线性弹性体本构关系线性弹性体应当满足以下三个条件：完全弾性，即任意时刻应力应变一一对应；无初应力，即在初始状态时应力和应变均为0。线弹性体的应力应变关系可写为：ij=ijklCkl（2-1）其中，ijklC为材料弹性常数，它与弹性体内点的坐标，温度及方向有关。由于应力张量和应变张量的对称性，同时弹性矩阵具有对称性，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述81个材料弹性常数中，实际上独立的材料弹性常数只有21个。满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线性弹性体的最一般情况。实际上，大多数线性弹性体都具有某种取向性，因此，所满足的本构关系也更简单。2、常见的线性弹性体及其相应的本构关系对于极端各向异性的线性弹性体来讲，其独立的材料常数有21个；具有一个弹性对称面（如xy面）的线性弹性体的独立的材料常数有13个；正交各向异性的线性弹性体的独立的弹性常数有9个；横观（如xz面）各向同性的线性弹性体的独立的弹性常数5个；各向同性的线性弹性体的独立的弹性常数有2个。3、各向同性体的本构关系若材料某点沿任意方向的力学性质都相同时，材料常数与方向无关，称为各向同性材料。各向同性体的本构关系有如下特点：正应力引起线应变，剪应力引起剪应变；应力主轴与应变主轴是重合的；体积应力与体积应变成比例；应力强度与应变强度成比例；应力偏量与应变偏量成比例。广义胡克定律对任意正交坐标系都是成立的，此时的胡克定律主要有应力表示应变的广义胡克定律、应变表示应力的广义胡克定律、体积胡克定律、应力强度与应变强度表示的胡克定律以及球张量与偏张量表示的胡克定律。三、屈服条件研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。1、初始屈服条件（1）初始屈服函数在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服，即s-=0。在复杂应力状态下，初始屈服函数可以写成：(,C)0ijf（3-1）其中，C是与屈服有关的材料常数。对于均匀的各向同性材料，初始屈服函数f与坐标和方向无关，常写成由主应力或主应力不变量表示的形式：123(,,)0f（3-2）123(,,)0fIII（3-3）123(J,J,J)0f（3-4）()0ijf（3-5）（2）初始屈服面以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数()0ijf表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。当应力点ij位于该曲面之内时（即()0ijf），材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上时（()0ijf），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入塑性状态。假设：材料是初始各向同性的；平均应力（静水应力）不影响塑性状态。通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量OP来描述（图2），矢量OP可写为：123OPijk（3-6）分解成为偏量部分与球量部分有：123()mmmOPSiSjSkijkOQON（3-7）有上述第二个假定，ON与材料的塑性状态无关。从几何上看ON与123,,轴的夹角相等，且正交于过原点的一个平面，这个平面的方程为：1230（3-8）该平面平均应力等于0，习惯称之为平面。根据第二个假定，在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON平行。屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。图2主应力空间里的屈服面图3平面上的屈服曲线（3）常用屈服条件1)Tresca屈服条件1864年，法国人Tresca做了一系列的金属挤压试验来研究屈服条件。根据实验，他提出假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。这个条件称为Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。max1c2（3-9）c是和屈服有关的材料常数。2)Mises屈服条件Tresca屈服条件在平面上的几何图形是一个正六边形，它的六个顶点是由试验得到的，但是连接这六个点得直线却是假设的，而且Tresca正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不便。在1913年，Mises提出采用一个圆来连接Tresca正六边形的六个顶点可能更加合理，它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学困难。Mises提出的屈服条件为：2JC（3-10）其中，C也是和材料性质有关的一个常数。它可通过实验确定。若做简单拉伸实验，则材料屈服时有21231,0,3ssJC，所以：213sC（3-11）若做纯剪实验，则材料屈服时有21232,0,ssJC，所以2sC（3-12）2、后继屈服条件与后继屈服曲面后继屈服条件又称加载条件或硬化条件。在单向应力状态下，应力分量's=，其中's为非材料常数，与塑性变形的历史有关，比初始屈服极限大。在复杂应力状态下，后继屈服函数为,0ijK，ij与瞬时应力状态有关，K与变形历史有关。后继屈服面是一族与K即变形历史有关的曲面。加载函数和加载曲面的形式非常复杂，至今没有完全解决，只是根据一维应力状态规律建立模型或假设。四、塑性阶段的应力应变关系1、理想塑性材料加载和卸载理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为,,,,,0xyzxyyzzxf或0ijf它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=0，此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内，即df0，就表示变形状态从塑性变为弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为0ijf（弹性状态）0,0ijijijijijijffdffdfd（加载）0,0ijijijijijijffdffdfd（卸载）2、硬化材料加载、卸载对于硬化材料，加载面将随着塑性变形的发展而不断变化，它的加载和卸载准则与理想塑性材料不同，只有d指向加载面之外才是加载；当d正好沿着加载面变化时，加载面不会变化，称为中性变载。上述加载和卸载准则可以用数学形式表示为0,000ijijijdKfKddn且即（加载）=0,000ijijijdKfKddn且即（中性变载）=0,000ijijijdKfKddn且即（卸载）3、塑性本构关系迄今为止，各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类，即增量理论和全量理论。增量理论建立了塑性状态下塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系，这类理论又称为流动理论。属于这一理论的主要有：Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。全量理论建立了塑性状态下应力全量与应变全量之间的关系，这类理论又称为形变理论。，包括伊留申理论。以上是我所认识的应力与应变的关系。