春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用-最值问题同步练习新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用-最值问题同步练习新人教B版必修5一、选择题1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A．1x＋y≤14B．1x＋1y≥1C．xy≥2D．1xy≥1[答案]B[解析]取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．具体比较如下：∵0x＋y≤4∴1x＋y≥14故A不对；∵4≥x＋y≥2xy，∴xy≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴1xy≥14∴D不对；1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2xy，∵1xy≥12，∴1x＋1y≥1.2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤m2＋n22＝50，等号在m＝n＝52时成立，故选B．3．若a0，b0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．1ab12B．1a＋1b≤1C．ab≥2D．1a2＋b2≤18[答案]D[解析]∵a0，b0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2，∴ab≤4，∴1ab≥14，∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A、B、C均错，选D．-2-[点评]对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤18.4．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．23D．43[答案]A[解析]∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥23x·32y＝23x＋2y＝234＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立．∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a0，b0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于()A．2B．4C．22D．25[答案]C[解析]当a0，b0时，ab≤a＋b24＝t24，当且仅当a＝b＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t24＝2，t2＝8，所以t＝8＝22.故选C．6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]D[解析]∵2x＋2y≥22x＋y，∴22x＋y≤1，∴2x＋y≤14＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．二、填空题7．已知x、y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．[答案]3[解析]∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号．8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________-3-[答案]12(a－b)2[解析]从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式a2＋b22≥(a＋b2)2更简捷．∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22.当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2，ymin＝a－b22.三、解答题9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(ax＋by)＝a＋b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，等号在ayx＝bxy即yx＝ba时成立．∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10.设x0，y0，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值．[解析]∵x0，y0且x2＋y22＝1，∴x1＋y2＝x2＋y2＝12·2x2＋y2＝22·2x2＋y2≤22·2x2＋＋y22＝324，-4-当且仅当2x2＝1＋y2，即x＝32，y＝22时等号成立．∴x1＋y2的最大值为324.一、选择题1．已知a0，b0，且a＋b＝1，则1a2－11b2－1的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析]∵a＋b＝1，a0，b0，∴ab≤14，等号在a＝b＝12时成立．∴1a2－11b2－1＝1－a2a2·1－b2b2＝＋aba2·＋bab2＝＋a＋bab＝2＋abab＝2ab＋1≥214＋1＝9，故选D．2．若直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()A．14B．12C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4(等号在a＝b＝12时成立)．故所求最小值为4，选D．-5-3．当x1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3][答案]D[解析]∵x1，∴x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1x－1＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋1x－1≥a恒成立，则须使a≤3.4．已知正数x、y满足1x＋4y＝1，则xy有()A．最小值116B．最大值16C．最小值16D．最大值116[答案]C[解析]∵x0，y0，∴1x＋4y≥24xy＝41xy，又∵1x＋4y＝1，∴41xy≤1，∴1xy≤116，∴xy≥16，故选C．二、填空题5．一批救灾物资随17列火车以vkm/h的速度匀速直达400km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v20)2km，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.[答案]8[解析]物资全部运到灾区需t＝400＋v202v＝400v＋v25≥8h，等号成立时，400v＝v25，即v＝100.故最少要用8h.6．若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．[答案]18-6-[解析]∵x0，y0，∴2x＋y≥22xy，∴2x＋y＋6＝xy≥22xy＋6，∴(xy)2－22xy－6≥0，解得xy≥32，即xy≥18.三、解答题7．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断12[f(x1)＋f(x2)]与f(x1＋x22)的大小并加以证明．[解析]12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，f(x1＋x22)＝lgx1＋x22，而x1、x2∈R＋，x1x2≤(x1＋x22)2，而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．∴lg(x1x2)≤lg(x1＋x22)2，∴12lg(x1x2)≤lgx1＋x22.即12(lgx1＋lgx2)≤lgx1＋x22.因此，12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)．8.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[解析](1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x0，y0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0.-7-∴0S≤10，∴0S≤100.故S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.解之得x＝15(m)，y＝203(m)．答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.