教学的核心是培养数学思维(澄海中学池芳芳)

教学的核心是培养数学思维——对“等差数列前n项和”一节的思考内容提要：本文探讨的核心是如何在课堂中实现倒序相加法的方法重建过程，具体的着眼点有两个，一个是过渡教材上“钢管”的问题情境是否有价值？另一个是首尾配对法是否能自然发展为深层的倒序相加法？关键词：倒序相加法知识重建正文等差数列的前n项和公式无论是获取的过程还是证明方法的获取过程，以及它的证明过程，都是发现数学结论和数学方法的思维过程，同时在这些过程中还蕴含了“特殊与一般”“归纳与类比”“抽象与概括”等重要的数学思想方法。由此可见等差数列前n项和公式是培养学生的创新意识和创新能力的一个极好的素材。这两年学校均有老师选择这个知识点作为开公开课的内容，在听过的课中，总存在这样或那样的一些不足，为此我对教材编排的内容作进一步的思考，思考如何进行教学设计才能在课堂教学中准确把握教材，提高教学效果。这节课的重难点都是公式的推导方法（倒序相加法）是怎么想到的，为什么可以用这种方法？过渡教材中的问题情境：钢管的计算问题:【问题1】一个堆放铅笔的V形架最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它的下一层多放一支铅笔，最上面一层放了100支铅笔。问这个V形架上共放有多少支铅笔？分析：问题即是求：123100?高斯算法（首尾配对法）100123100(1100)(299)(398)(5051)501015050S【问题2】若另有一倒立的V形架最下层放有100支铅笔，往上每一层都比它的下一层少放一支铅笔，最上面一层放1支铅笔。问这两个V形架上共放有多少支铅笔？100123100S①100100999821S②由①+②可得1002100101S10010010150502S（明确这种方法就是“倒序相加法”）借助图形直观——计数问题，联想到梯形面积——割补法构造平行四边形——完善为倒序相加法，对倒序相加法的启发过于直白，更是学生很难想到的，这是一种特殊的技巧。学生常常会问：老师，你是怎么想到的？教师也不知所措。因此按这样的处理方法进行教学，不便让学生自己去获得公式的推导方法，教师只能采用灌输的方式进行传授，易使学生的思考表层化，直接模仿，而无法深入思考，从而使倒序相加法的重建过程缺失。而现行的课程教材（人教版）创设的情境是采取一个历史上有名的例子——高斯求和出发，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050，一方面引发学生对等差数列的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项和末项的和这个规律。为接下来求前n个正整数n...321的和、求一般等差数列前n项和做好铺垫。教材这样做的意图是要求教师在教学时，要由简到繁，由浅入深，采取层层递进的方法处理等差数列前n项的求和问题，向学生渗透数学研究中的“特殊与一般”的数学思想方法，让学生学习研究问题的思路和方法，让学生知道在解决有关等差数列前n项和的问题时，就可以直接运用公式，而不需要逐个求和。两种教材在揭示倒序相加法的形成中，注意让学生理解其可以用的原因，但学生对倒序相加法的形成过程还需要深入地分析，学生对高斯法仅仅停留在直观、模糊的经验层面，要发展为倒序相加法，必须要有一个方法论的重建过程。教材中由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知2)1(...321nnn上面这种加法叫“倒序相加法”。老师在教学的过程中力图让学生注意到了等差的性质，明确倒序相加法的原因，并认为学生在此时已经学会了倒序相加法，于是直接说出了方法：一行顺向，一行逆向，两式相加，恰好两两配对。其实，学生脑海里此时装的却是模糊的首尾配对法，而不是倒序相加法，这样，方法重建过程在不经意间滑过。因为用高斯法求1+2+3+……+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050，从而求n321时，学生很自然就想到)2(3)1(21nnn依据等差数列性质两两配对，此时学生又有一个问题，能否两两配对？共有多少对？此时学生意识到不一定能两两配对，学生很自然就会想到不能两两配对的原因是当n为奇数时，从而学生就会想到n应分奇偶数：当n为偶数时，n321=2)1(nn=2)1(nn；当n为奇数时，nn)1(321=2)1(21)]1(1[nnnnn，从而学生又可以得到在两种情况下，结果是一致的。无论n为奇数还是偶数，2)1(...321nnn。为什么？接下来教师应引导学生如何用其他的方法来证明这个结论，引导通过对整个和式进行观察，分析和式的特点，发现其规律。考虑能否用分析法来证明？把2乘过去，则有)321(2n）=)1(nn，有了两个n321就好配对了，总项数就一定是偶数了。]12)1([])1(321[2nnnnSn首尾配对，从而可得nS2)1(nn，∴2)1(nnSn这种方法是倒序相加法，它是等差数列的完美利用，有效克服了首尾配对中奇偶项的限制，使得教师的教学时还原人们的这个思维过程，也使得倒序相加法水到渠成，自然获得。本文探讨的核心是如何在课堂中实现倒序相加法的方法重建过程，具体的着眼点有两个，一个是过渡教材上“钢管”的问题情境是否有价值？另一个是首尾配对法是否能自然发展为深层的倒序相加法？对于第一个问题，尽管这种推导学生很容易理解和掌握，但没有体现倒序相加法的获取过程，而是直接告知学生的，忽视了“课程标准”中要求教师的教学要注意让学生经历方法的提炼与获取过程。对于第二个问题具有很大的冲击力，它引起大家的兴趣与好奇，教师可以通过引导学生将“首尾配对法”经由碰壁、再思考，加工为倒序相加法，使方法完成再加工的过程，这样做既显得自然，顺理成章，又降低了学生思维难度，还可回避学生的疑问，同时有很好地体现了公式的获取过程或证明过程，正确而有效地体现了课程理念和思想，这恰是本节课的难点，也是本节课的精华所在。参考文献：[1]张格波。集体磨课出智慧[J].中学数学教学参考：上旬，2012年第10期：56-58.[2]王跃辉、黄益全、王靖源。等差数列前n项和公式的教学思考及建议[J].中学数学教学参考：上旬，2012年第8期：18-20.