高一数学--奇偶性

1高一数学第四讲函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇二、基础练习：1.f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？反之是否成立？2.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x·f(x);④y=f(x)+x.3.设函数若函数2()(2)(1)3fxkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是4.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在x0上f(x)的表达式为5.设f(x)是R上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x1＜0,且x1+x2＞0,则f(x1)与f(-x2)的大小关系是三、例题精讲：题型1：函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：①xxxxf11)1()(,②29|4||3|xyxx,③22(0)()(0)xxxfxxxx④2211)(xxxf变式：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①
y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有___（要求填写正确答案的序号）2题型2：函数奇偶性的证明例2、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式：已知f（x）=(21)221xxa是奇函数，则实数a的值等于题型3：函数奇偶性的应用例3.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围。变式1：已知函数()fx是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断()fx在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式2：函数()yfx是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若()(2)faf,则实数a的取值范围是3题型4：综合应用例5.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=变式：已知函数f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=.例6．已知函数baxcxxf2)(为奇函数，)3()1(ff，且不等式23)(0xf的解集是[2,1]∪]4,2[。（1）求,,abc；（2）是否存在实数m使不等式23)sin2(2mf对一切R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。4例7.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有babfaf)()(＞0.(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+21)＜f(11x);(3)若f(x)≤m2－2pm+1对所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.5能力训练题1.判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=123xxx；（2）xxxf11；（3）f(x)=x2+1(x[-10,10))；2.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］(a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是3.已知函数f(x)(xR)是奇函数，且30时,(),则0()xfxxxxfx时_。4.设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF在R上的奇偶性是5.已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为7.如果奇函数)(xf在区间[3,7]上最大值为5，那么)(xf在区间3,7上最小值是8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为__。9.(1)()()xxafxx为奇函数，则a．10.如果函数23,0,,0.xxyfxx是奇函数，则fx611.判断22()(0)||axfxaxaa常数的奇偶性。12.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-21≤a≤21，求f(x)的最小值.