教案01-绪论计数原理排列组合

《概率与数理统计》教案01第1页共7页教学对象管理系505-13、14、15；经济系205-1、2计划学时2授课时间2006年2月28日；星期二；1—2节教学内容一、概率绪论（用自制的教学软件进行随机游戏演示）二、计数原理——加法原理与乘法原理的复习三、排列与组合教学目的通过教学，使学生能够：1、了解概率统计的发展史，学习内容2、培养对概率的学习兴趣3、利用计数原理与排列组合计算完成某件事的方法数；。知识：1、了解概率的发展简史与研究内容；2、掌握排列与排列数公式；3、掌握组合与组合数公式；4、排列与组合的应用；技能与态度1、对随机现象有正确的认识；2、用科学态度对待随机现象；3、科学计算的认真态度。教学重点排列与组合的概念教学难点解决实际问题时排列与组合的区别教学资源自编软件（用于多媒体演示），多种颜色的玻璃球若干个（以备实验）教学后记培养方案或教学大纲修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见教学资源及学时调整意见其他教研室主任：系部主任：《概率与数理统计》教案01第2页共7页绪论（15分钟）《概率与数理统计》是研究随机现象数量规律性的数学学科，其特点是理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,在全国的各种高等学校中，无论是本科院校还是高职高专，很多专业都开设了这门课程。它也是很多专业的本科生报考研究生的必考内容之一，希望大家能认真学好这门重要课程。概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，它是数学的一个分支。概率(或几率)——是随机事件出现的可能性的量度，它起源于对赌博等博弈问题的研究一、概率的起源在欧洲文艺复兴时代，15世纪末的法国和意大利盛行赌博，不仅赌法复杂，而且赌注量大，一些职业赌徒迫切需要计算取胜的机会。比如：一位意大利贵族向天文学家伽利略请教的问题是：“掷3颗骰子，出现9点与出现10点均有6种组合，但经验发现出现10点的机会要多些，是否符合数学规律？”，伽利略从组合数的角度对问题进行了解释，被认为是概率研究的首次成果。九点（126，135，144，225，234，333）十点（136，145，226，235，244，334）法国的赌徒麦尔（梅耳）(Mere)向法国的数学家帕斯卡(Pascal)提出两个问题——（1）将一颗骰子掷4次至少出现一个6点的机会是否比将两颗骰子掷4次至少出现一对6点的机会大？（著名的梅耳猜想），帕斯卡与费马经过通信讨论，最终解决了这一问题；（2）“一个赌徒用一颗骰子要在八次投掷中掷出一个六点，他开始三次都未成功，如果放弃第四次，那么赌注中有多大部分应归还给他?”16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题。意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。17世纪中叶,法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段。每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分。反之，乙得1分，甲不得分。谁先得到规定分数就赢得全部赌注。当进行到甲还差2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注？)。1657年，荷兰著名的天文、物理、数学家惠更斯在解决合理分配赌注问题的后，写成了《论随机游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。概率的概念是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题。该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注d。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：如果再掷一次，若甲胜：甲获全部赌注d；若乙胜：甲、乙平分赌注d21,上面这两种情况出现的可能性相同，所以，甲应得的赌金为ddd43221，乙应得《概率与数理统计》教案01第3页共7页的赌金为d41。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况：１２３４胜者：甲甲甲乙乙甲乙乙前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的43，乙得赌金的41。帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确地定义概率的概念，但是，他们定义了使赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。二、概率论在实践中曲折发展：对客观世界中随机现象的分析产生了概率论，使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。在概率问题的早期研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要的概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题（如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等）的提出，都促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。其中最值得一提的是法国数学家拉普拉斯，他发表了《概率的分析理论》和《概率的哲学探讨》，对概率的发展方向，当时他作出的预言是：“从考虑赌博问题而引起的一门学科，将会成为人类知识宝库里最重要的主题”，但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。三、概率论理论基础的建立：经过二十多年的艰难研究，雅各·贝努利在1713年出版了概率论的第一本专著《推测术》，书中表述并证明了著名的大数定律。所谓大数定律，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化的结构，明确了概率论的基本框架。这是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。四、概率论的应用：20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验、公用事业、保险业、航海业等随机风险性问题等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。五、软件演示：演示摸球游戏和社会福利彩票双色球的仿真过程《概率与数理统计》教案01第4页共7页教学活动流程教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课复习内容：（10分钟）中学阶段的计数原理是以后学习概率的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。在日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的选择问题，都可以应用它们来解决。加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．问题2：从甲地到乙地，可以骑自行车，也可以骑摩托车，还可以乘汽车。从乙地到丙地，可以乘座飞机，也可以乘轮船。从甲地到丙地，共有多少种不同的走法？教师归纳：（3分钟）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．导入新课：（2分钟）计数原理能在很多情况下，求得完成某件事的方法总数。但对有些问题来说，如果都用计数原理来求解，则显得过于烦琐，为了简化求解方法，我们还要学习排列与组合的概念及方法——这是今天要学习的内容。理解用途明确加法原理的具体内容明确乘法原理的具体内容使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质引出学习排列与组合的目的实例说明讲解学生回答学生回答在学生对问题的分析不很清楚时，教师及时地进行归纳和小结《概率与数理统计》教案01第5页共7页二、明确学习目标1．正确理解排列、组合的意义．2．掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解．3．培养学生的概括能力和逻辑思维能力。三、知识学习1、排列（8分钟）例．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能否用乘法原理来设计方案呢？生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成的一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数计算公式（由乘法原理求得）Amn=n(n-1)…(n-m+1)排列说明：取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列．如飞机票、通信封数、减法与除法运算的结果都属于这一类。2、组合（10分钟）下面考虑另一类问题：取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机的票价，打电话的次数、加法与乘法的运算结果都属于这一类．定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径．和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个数，而是具体的一件事找学生用加法原理求解找学生用乘法原理求解理解并掌握排列的概念掌握计算公式明确相同排列的含义理解并掌握组合的概念明确相同组合的含义逐步引导逐步引导老师点评，得出结论：乙的方法更简洁。由此引出排列概念逐步推导《概率与数理统计》教案01第6页共7页组合数公式（将排列数的计算分成两步）：由Amn=CmnAmm得Cmn=mmmnAA=!)1()1(mmnnn掌握计算公式四、技能学习（20分钟）排列