数列基础知识

数列基础知识一、数列1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作{an}．其中an是该数列的第n项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．5．数列的分类：①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式an=f（a1n）（n=2，3，…）（或an=f（a1n,a2n）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn=1niia=a1+a2+…+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=f（n）（n=1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：11(1)(n2)nnnSnaSS．二、等差数列1．等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列（又叫算术数列），这个常数叫做等差数列的公差．根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型：公差范围d＞0d＜0d=0类型递增数列递减数列常数列2．等差数列的性质：①定义公式：an－an-1（n≥2）=an+1－an=d．②通项公式：an=a1+（n－1）d=ak+（n－k）d．注：an是关于n的一次型代数式，即可写成an=an+b，其中n的系数为公差．③公差公式：pqaadpq．公差是等差数列的图象的斜率．④中项公式：a、b、c成等差数列b－a=c－b2b=a+cb=b是a与c的等差中项；{an}为等差数列2an=an-1+an+1（n≥2）．（存在性与唯一性）⑤换和公式：m、n、p、qN，m+n=p+qam+an=ap+aq（可推广）．⑥求和公式：Sn=（a1+an）n=na1+n（n－1）d=a12nn（n为奇数）．注：Sn是关于n的二次型代数式，且无常数项，即可写成Sn=an2+bn，其中n2的系数为公差的一半．⑦经验公式：ap=q，aq=p(p≠q)apq=0；（方程、函数、数形结合等思想）Sp=q，Sq=p(p≠q)Spq=－(p+q)；Sp=Sq(p≠q)Spq=0．3．子数列：若{an},{bn}是等差数列，公差分别为d1、d2，则以下数列为{an}的子数列：子数列{akn+b}{Sn+k-1-Sn-1}{Skn-Sk(n-1)}{pan+qbn}公差kd1kd1k2d1d1/2pd1+qd2首项akbSkSka1pa1+qb1（k、b、p、q为常数，k、bZ，且k2+b2≠0，S0=0）4．奇数项的和与偶数项的和：在有穷等差数列{an}中，设S奇表示所有奇数项的和，S偶表示所有偶数项的和：①若项数为2k＋1（kN＋），S奇－S偶=a1k，S奇:S偶=（k＋1）:k；②若项数为2k（kN＋），S偶－S奇=kd，S奇:S偶=ak:ak+1．{/}nSn2ac12125．Sn的最值：①若Sn=an2+bn，则当n为最接近的正整数时，Sn最大(a0)或最小（a0）．②在等差数列{an}中，若ak＞0＞ak+1，则n=k时，Sn最大；若ak-1＞ak=0＞ak+1，则n=k或k－1时，Sn最大；若an＜0，则n=1时，Sn最大．③在等差数列{an}中，若ak＜0＜ak+1，则n=k时，Sn最小；若ak-1＜ak=0＜ak-1，则n=k或k－1时，Sn最小；若an＞0，则n=1时，Sn最小．6．{|an|}的前n项的和：若等差数列{an}的前n项和为Sn，用Tn表示{|an|}的前n项和，则：①当ak≥0＞ak+1时，()2()nnknSnkTSSnk；当an≥0时，Tn=Sn．②当ak≤0＜ak+1时，()2()nnnkSnkTSSnk；当an≤0时，Tn=－Sn．7．两个等差数列和的比与项的比之间的关系：若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，则2121nnnnaAbB．三、等比数列1．等比数列，公比的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（又叫几何数列），这个常数叫做等比数列的公比（在等比数列中，各项与公比都不为0）．根据公比和首项的范围可把等比数列分为以下四种类型：类型公比首项q＜00＜q＜1q=1q＞1a10摆动数列递减数列常数列递增数列a10摆动数列递增数列常数列递减数列2．等比数列的性质：①定义公式：1nnaa（n≥2）=1nnaa=q．②通项公式：an=a1qn-1=akqn-k．注：an是关于n的指数式与非零常数的乘积，即可写成an=a·bn（ab≠0），其中指数式的底数为数列的公比．③中项公式：a、b、c成等比数列bcabb是a与c的等比中项b2=ac2ba{Sn+k-1-Sn-1}{Skn-Sk(n-1)}bac；（存在性与唯一性）{an}为等比数列2na=an+1an-1an=11nnaa．④换积公式：m、n、p、qN，m+n=p+qaman=apaq（可推广）．⑤求和公式：．注：公比不为1时，Sn是关于n的指数式与与非零常数的乘积，再减去该常数，即可写成Sn=a·bna（ab≠0），指数的底数为数列的公比．3．子数列：若{an},{bn}是等比数列，公比分别为q1、q2，则以下数列为{an}的子数列：子数列{}knba{ank}{|an|}{panbn}公比q1kq1q1kq1k||qq1q2首项akbSkSka1k1||apa1b1（k、b、p为常数，p0，k、bZ，k2+b20，S0=0，有时要规定q1或q1）四、等差数列与等比数列的关系1．非零常数列既是等差数列又是等比数列．2．若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则{nab}（b为常数，且b≠0）为等比数列，其首项为1ab，公比为bd．3．若{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，且各项均为正数，则{lognab}（b为常数，且b＞0，b≠1）为等差数列，其首项为1logab，公差为logqb．五、数列问题的常用处理方法（“降龙十八掌”）1．观察归纳法：由特殊到一般．2．迭代递求法：已知递推公式和初始条件，求an．3．逐差叠加法：若anan-1=f（n）（n≥2），a1=a，求an．4．逐商叠乘法：若1/nnaa=f（n）（n≥2），a1=a，求an．5．基本参量法：an和Sn公式的正用和逆用．求基本量→用基本量→求目标量6．对称设项法：已知三个或四个数成等差数列或等比数列．7．倒序相加法：若{an}是等差数列，求a1C1n+a2C2n+a3C3n+…+anCnn等．11(2)nnnnaanaa111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq8．通项分组法：若an=（an+b）+p·cn+r·tn，求Sn．（“差”“比”和数列）9．错位相减法：若an=（an+b）·cn，求Sn．（“差”“比”积数列）10．拆项消去法：若a1=a，an=f（n）f（n+k）（k为正整数常数），求Sn．11．讨论奇偶法：若an=（1）nf（n）或()(21,)()(2,)nfnnkkNagnnkkN，求Sn．an＋an-1=an+b，an×an-1=p·cn（隔项数列）男女相间、逐和、逐积12．构造数列法：倒数构造、平方构造、开方构造、添数（加常数、乘指数式）构造、逐差构造、指对数构造．13．同构相减法：已知Sn或Sn与an的关系求an．（注意首项）14．相除消元法：已知等比数列Sm和Sn求an．15．整体求解法：换和、换积等．（滑位和、步位和）子数列问题16．待定系数法：先设目标形式，再确定系数．17．公式求和法：211(1)(21)6niinnn，32211(1)4niinn．（可用高次方差、二项式定理推导）18．数学归纳法：高阶等差数列：数列}{na中，令nnnaab1，nnnbbc1，nnnccd1，…，若}{nb是公差不为零的等差数列，则称}{na为二阶等差数列；若}{nc是公差不为零的等差数列，则称}{na为三阶等差数列；…（用递归法可定义各阶等差数列）r阶等差数列的通项公式是关于n的r次多项式，反之亦然。通项公式与递推公式是从不同角度采用不同形式表示数列的两种不同方法，但都属于公式法。只不过通项公式是通过数列的项与序号之间的内在的函数关系反映该数列的排列规律的一种直接方法；而递推公式则是通过数列的相邻几项的相互关系反映该数列的排列规律的间接方法。前者给出了数列函数解析式，后者给出了数列函数的变换公式。常见拆项方法：数列复习提纲一、数列的概念二、基本数列（等差数列和等比数列）判断与证明、基本计算、性质运用、最值问题三、数列运用求通项、求和常用化归类型：多化少、生化熟、异化同、高化低原则：难化易四、数列建模几何问题：确定递推关系，再定性、定量存贷问题：整体观察，再定性、定量增长问题：观测法、递推法、迭代法从无序到有序、从时间序到空间序、高屋建瓴、学会归类、事半功倍