数列求和问题教案

数列求和问题·教案教学目标1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．教学重点与难点重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和．难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的．教学过程设计（一）复习引入师：等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列．我们已经推出了求其前n项和的公式，公式分别是什么？师：我们学习新知识不仅要记住其结论，正确地运用它解决问题，而且要善于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法，逐渐地学会思考、学会学习．（不失时机地对学生进行学法指导非常必要）回忆一下推导这两个公式的方法，你有什么收获？（留给学生回忆及思考的时间）生甲：推导等差数列前n项和公式所用的方法是：先把Sn中各项“正着”写出来，再把Sn中各项次序反过来写出，两式相加．由于对应项和都为（a1+an），所以2Sn=n（a1+an），进而求出Sn．师：推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题．（渗透转化的思想）生乙：推导等比数列前n项和所用的方法是：将Sn的各项依次写出，再把这个式子的两边同时乘以q，然后两式“错项相减”，相减后等号右边只剩下两项，进而求得Sn．师：解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力．把Sn=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-2的两边分别乘以公比q，就得到各项后面相邻的一项，因而用“错项相减”的方法就可以消去相同的项．以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到．这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题．（板书课题）（二）新课例1求分母为3，包含在正整数m与n（m＜n）之间的所有不可约的分数之和．师：分母为3，包含在正整数m与n之间的所有不可约分数有哪些？师：本题实质上让我们解决什么问题？生：求由这些分数构成的数列的各项和．此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？（稍微停顿）都不是．请同学们观察此数列有什么特点，可用什么方法求和？生甲：此数列的第一项与最后一项的和是m+n，第二项与倒数第二项的和也是m+n，依此类推．根据此数列的特点，可以用刚才复习过的“逆序相加法”求和．（学生叙述解法一，教师板书）解法1：将上式各项次序反过来写出：两式相加得所以S=（m+n）（n-m）=n2-m2生乙：我观察此数列的所有奇数项组成公差为1的等差数列，所有偶数项也组成公差为1的等差数列，它们分别都有（n-m）项．可以转化成等差数列求和问题．（学生叙述解法2，教师板书）解法2：师：解法2是将原数列的各项重新组合，使它转化为等差数列求和（学生进一步体会）师：无论是“逆序相加法”还是“分组求和法”都是通过适当的变换把某些既非等差数列又非等比数列的特殊数列转化为等差或等比数列的求和问题．看下面数列又怎样转化呢？例2求数列1，3a，5a2，7a3，…（2n-1）an-1，…（a≠1）的前n项和．师：我们还是从观察数列特点入手．此数列各项有何特点？生：此数列每一项中的字母部分a0，a1，a2，…，an-1构成以a为公比的等比数列，每一项中的系数部分1，3，5，…，（2n-1）构成以2为公差的等差数列．师：我们不妨把这种数列称为“差比数列”{cn}，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．联想我们曾遇到过的数列，有没有“差比数列”呢？生：任何一个等比数列都是特殊的差比数列．师：等比数列求和公式是怎样推导的？生：用错项相减法．师：假如我们也使用错项相减法，把Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1的两边也同时乘以公比a，却不得各项后面相邻的一项，两式错项相减，并未达到消去绝大部分项的目的．用此法还行吗？生：虽然没消去绝大部分项，却把问题转化成为一个等比数列求和问题．（学生叙述，教师板书）解：因Sn=1+3a+2a2+7a3+…+（2n-1）an-1，（1）（1）×a得aSn=a+3a2+5a3+…（2n-3）an-1+（2n-1）an．两式相减得（1-a）Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-（2n-1）an=2（1+a+a2+a3+…+an-1）-（2n-1）an-1师：让我们来回顾一下，错项相减后的式子中只留下第一项和最后一项，其它各项构成等比数列，把未知问题转化成已知的等比数列求和问题．由解题过程可见，此方法可解决哪类数列的求和问题？生：错项相减法可解决差比数列求和问题．师：也就是说，可解决这类数列{cn}的求和问题，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．例如求数列{2n-1}×0.1n}的前n项和，你能解决此问题吗？（学生进一步体会）师：这是一个通项是分数形式的数列，分母是相邻两个自然数的积，且相邻两项的分母中有相同因数．（稍微停顿）既然有相同的成分，那么我们能否消去它们，促成求和呢？（留给学生思考的时间）师：正像前面我们推导等差数列通项公式使用叠加法．（板书）a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-1-an-2=dan-an-1=d．将上面n-1个式子的等号两边分别相加得到an-a1=（n-1）d，消去了绝大部分的项，只留下了第一项a1和最后一项an．对于这个题目，同学们能否类似地实现求和呢？（让学生学会类比的思维方法）（学生讨论）生：要达到消去的目的，必须出现差的形式．观察数列的第一项可（学生叙述，教师板书）师：这位同学的解法非常漂亮．他把通项是分数形式的数列的每一项，分裂成两个分数之差，这些分数的和，除首末两项（有时也可能是首末若干项）外，其余各项前后抵消，实现了求和．我们把这种方法叫做裂项求和法．这种方法，在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到．下面请看第（2）小题．（学生先练习，然后师生共同讨论）师：这个数列有何特点？考虑用什么方法求和？生：这个数列中的每一项都有规律的分数形式，不妨试试裂项求和法解题．师：怎样裂项？师：先从通项入手进行分析，具有一般性，很好．分析裂项时，需师：由（*）式的变形过程可知4是由（4k-3）-（4k+1）得来的．观察数列1，5，9，13，…，4n-3，…是什么数列？生：公差为4的等差数列．生：凑的系数恰为数列1，5，9，…，4n-3，…的公差的倒数．师：能不能推广成更具一般性的结论？（学生讨论）生：如果{an}为等差数列，d为公差，则师：这样就全面了．同学们得出具有共性的结论．我们要善于解题后回顾与反思，多题归一．当然，有的不具有此规律的分数数列裂项并师：怎样求得A，B，C？生：可用待定系数法．师：课后同学们可继续探讨．例4求和Sn=13+23+33+…+n3（n∈N+）．（学生议论）师：同学们还记得Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2可用哪个图形表示出来吗？（学生甲在黑板上画出图形，如图6-2）师：对于Sn=13+23+33+…+n3（n∈N+）同学们能否类似地用一图形表示并猜想其结果？（学生讨论，教师用实物投影展示学生乙的图形，图6-3）生乙：我也用一个正方形表示，左下角的第一格表示13，左下角除表示13的方格外的8个格表示23，左下角除表示13和23以外的27个格表示33，以此类推．前n个自然数的立方和Sn为正方形中所有方格个数之和（1+2+3+…+n）2师：同学们借助几何图形及其性质，使问题变得直观、简单，猜想除了猜想一证明的方法外，还有没有其它方法？（稍微停顿）想想前n个自然数的平方和是怎样求出来的？生：用构造法．利用构造的恒等式（k+1）3-k3=3k2+3k+1（k∈N+）实现求和．师：对．当k取1，2，…，n时，得到n个恒等式，把这个n个恒等式两边分别相加，由于左边是两个连续自然数的立方差，叠加后式子左边消去了除（n+1）3与13以外的所有项，右边留下了我们需要的Sn与可解决的自然数和以及n个常数1之和．构造恒等式的目的是为了把前n个自然数的平方和问题转化为前n个自然数和的问题．那么，对于前n个自然数的立方和问题又怎样转化呢？生：构造恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1（k∈N+），当k取1，2，…，n时，把n个式子叠加，使问题转化为前n个自然数的平方和与前n个自然数和的问题．师：很好．请同学们课后完成．我们把公式叫做自然数的方幂和公式．利用公式，我们又可以解决一类数列求和问题．例5求和Sn=1×2×3+2×3×4+…n（n+1）（n+2）．师：利用公式（1），（2），（3）可解决自然数的方幂和问题，对于各项为n个数的积的形式的数列怎样能实现求和？生：先分析数列的通项，最好是化为n个数的和或差的形式．（学生叙述，教师板书）例因为n（n+1）（n+2）=n3+3n2+2n，则Sn=13+3×12+2×1+23+3×22+2×2+…n3+3n2+2n=（13+23…+n3）+3（12+22+…+n2）+2（1+2+…+n）师：请同学们归纳一下，利用公式（1），（2），（3）可解决哪类数列求和问题？生：如果数列{an}的通项是关于n的多项式或通项可以转化为关于n的多项式就可以利用公式求数列的前n项的和．（三）小结师：数列求和是一个很有趣的问题．最基本的方法是：对于等差数列或等比数列求其前n项和，直接用前n项和公式求得，我们把这种方法叫做直接法．除直接法外，我们还应总结求一些特殊数列前n项和的间接方法．能举例吗？生：如这节课使用的逆序相加法，分组求和法，错项相减法，构造法等．师：使用这些具体方法的指导思想是什么？生：利用转化的思想，把一些既非等差数列又非等比数列的数列求和转化为等差数列或等比数列求和．师：我们可以把这些具体方法归纳为第一种间接求和法——转化求和法．也就是通过适当的变换，化归成等差数列或等比数列求和．还有什么方法？生：裂项求和法．师：如果一个数列的每一项都能排成两项之差，在求和中，一般除首末两项（也可能是首末若干项）外，其余各项先后抵消，那么这个数列前n项和就容易求出来了．在解决分数数列的求和问题时经常用到．师：我们把它归纳为第二种间接求和法——裂项求和法．还有其他方法吗？生：利用自然数的方幂和公式求和．师：对于通项是关于n的多项式或可化为关于n的多项式的数列可利用此公式求和．我们把它归纳为第三种间接求和法——利用自然数的方幂和公式求和．当然，对于某些数列的求和还可以用归纳-猜想-证明的方法，今后同学们可继续讨论．（四）布置作业A组（A组题检查教学目标是否达到，要求学生独立完成）B组（B组题供学有余力的学生使用）课堂教学设计说明在教学过程中，教师对学生进行必要的学法指导，使学生由“学会”到“会学”是课堂教学中实施素质教育的重要手段．这节课一开始的复习，不仅仅是复习旧知识，而且复习研究问题的方法，由此引入新课，让学生体会怎样学习．在学习裂项求和法时，用推导等差数列通项公式使用的叠加法与要解决的问题进行类比，引导学生发现解决新问题的办法，让学生体会类比的思维方法．在解完例3之后，教师引导学生把结论推广到一般情况，进行例题后的回顾与反思，让学生体验如何加强知识之间的联系，使认识不断升华．利用课堂小结将学生零散的知识系统化，并纳入到自己的认知结构中，与此同时，也培养了学生养成善于总结的良好学习习惯．总之，课堂教学中不失时机地对学生进行必要的学习方法指导，让学生学习“怎样思考”、“怎样学习”其意义远比学会知识本身深远得多．