数学中考复习数学思想方法专题

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第1页共9页数学思想方法专题一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义.例1如图1，数轴上的A，B，C，D四点所表示的数分别为a，b，c，d，且O为原点．根据图中各点位置，判断与|a－c|的值不同的是（）A．|a|+|b|+|c|B．|a-b|+|c-b|C．|a-d|-|d-c|D．|a|+|d|-|c-d|分析：根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可．解：由题意，知|a-c|=AC.∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO≠AC，故A选项正确；∵|a－b|+|c－b|=AB+BC=AC，故B选项错误；∵|a－d|－|d－c|=AD－CD=AC，故C选项错误；∵|a|+|d|－|c－d|=AO+DO－CD=AC，故D选项错误.所以选A．点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键．例2（2012年河南省）如图2，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2xax+4的解集为（）A.x23B.x3C.x23D.x3分析：由于两条直线交于点A，结合函数表达式y=2x确定点A的横坐标．注意在交点左边和右边y值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集.解：把A（m，3）代入y=2x，得m=23.所以A（23，3）.由图象可知，不等式2x＜ax+4的解集为x＜23．故选A.点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键.二、分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时，按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是：①分类的每一部分是相互独立的；②一次分类必须依据同一个标准；③分类必须是逐次进行的.例3（2012年湘潭市）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第2页共9页分析：根据点（0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式．解：∵一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象过点（0，2），∴b=2.令y=0，则x=－k2.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴21×2×k2-=2，即k2=2.当k＞0时，k2=2.解得k=1；当k＜0时，-k2=2.解得k=-1．故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2．点评：确定一次函数的表达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标.由于题目中没有明确指出图象与x轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论.例4（2012年龙东市）等腰三角形的一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为________．分析：结合题意“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运用勾股定理，分别求解.解：（1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时，AB=AC=5，AD=3.由勾股定理，得BD=22BDAB=2235=4.所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高.①当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时AB=AC=5，BD=3.由勾股定理，得AD=22BDAB=2235=4.故CD=1.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=22CDBD=2213=10；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图5.此时AB=AC=5，CD=3.由勾股定理，得AD=22CDAC=2235=4.故BD=9.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=22CDBD=2213=310.综上，底边长为8或10或310.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第3页共9页点评：题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解．三、转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或者是从结论入手进行转化；（2）数与形的转化：把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答.例5（2012年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.例：解一元二次不等式x2－4＞0.解：∵x2－4=（x＋2）（x－2），∴x2－4＞0可化为（x＋2）（x－2）＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①0202xx，或②0202xx.解不等式组①，得x＞2；解不等式组②，得x＜－2.∴（x＋2）（x－2）＞0的解集为x＞2或x＜－2.即一元二次不等式x2－4＞0的解集为x＞2或x＜－2.（1）一元二次不等式x2－16＞0的解集为_______；（2）分式不等式31xx＞0的解集为____________；（3）解一元二次不等式2x2－3x＜0.分析：（1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可.解：（1）x＞4或x＜－4.（2）x＞3或x＜1.（3）∵2x2－3x=x（2x－3），学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第4页共9页∴2x2－3x＜0可化为x（2x－3）＜0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①0320xx或②0320xx.解不等式组①，无解；解不等式组②，得0＜x＜23.∴x（2x－3）＜0的解集为0＜x＜23.即一元二次不等式2x2－3x＜0的解集为0＜x＜23.点评：这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想．例6（2012年日照市）如图6-①，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图6-②，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1_______S2（用“”、“”或“=”填空）.分析：观察图①可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD的面积，观察图②可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的41，分别求出矩形CAFD的面积、最大圆面积的41后作比较即可．解：连接OD，如图6-①.∵四边形OCDE为正方形，OE=1，∴由勾股定理，得OD=22DEOE=2211=2.∴AO=2.∴AC=AO-CO=2－1.∴S1=S矩形CAFD=（2－1）×1=2－1.∵S大圆=πr2=π，∴S2=41π．∵249，即223，∴2－1＜23-1，即2－1＜41.又214341π，∴2－1＜41π.∴S1＜S2．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第5页共9页点评：对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算．四、整体思想整体思想就是从问题的整体出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理.例7（2012年南通市）无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2m－n＋3）2的值等于________．分析：根据无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，确定函数的表达式，再把x=m，y=n代入函数表达式，求出2m－n的值，最后整体代入．解：因为2a－3=2（a－1）－1，而无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，所以直线l的表达式是y=2x－1.又Q（m，n）是直线l上的点，所以n=2m－1，即2m－n=1.所以（2m－n＋3）2=（1＋3）2=16．点评：如果已知以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数表达式.用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法．例8（2012年内江市）如图7，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为（）A.15B.20C.25D.30分析：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，运用轴对称的性质，找到阴影部分的周长与原矩形边长的关系.解：因为在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5.根据轴对称的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长是：（A1E＋EM＋MD1＋A1D1）＋（MB＋MF＋FC＋CB）=AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB=（AE＋EM＋MB）＋（MD1＋MF＋FC）＋AD＋CB=AB＋（FD1＋FC）＋5＋5=10＋（FD＋FC）＋10=20＋DC=20＋10=30.故选D.点评：灵活运用轴对称的性质是解决此类问题的关键，正确找出折叠前后的对应边和对应角，运用整体代换有助于解决问题.五、建模思想建模思想就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种思想方法．例９某地上年度电价为０．８元/度，年用电量为１亿度，本年度计划将电价调至０．５５至０．７５元之间．经测算，若电价调至ｘ元，则本年度新增用电量ｙ亿度与ｘ－０．４成反比例，又当ｘ＝０．６５元时，ｙ＝０．８．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第6页共9页（２）若每度电的成本价为０．３元，则电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］分析：本题ｙ与ｘ虽不是反比例函数，但根据题意ｙ与ｘ－０．４成反比例，根据反比例的特点列出关系式ｙ＝4.0xk，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量与实际电价减去成本价，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（１）∵ｙ与ｘ－０．４成反比例，∴设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝4.0xk（ｋ≠０），把ｘ＝０．６５，ｙ＝０．８代入，可以求出ｋ＝０．２．∴ｙ＝4.02.0x=251x．（２）根据题意，收益为1+251x·（ｘ－０．３）亿元．将ｘ＝０．６代入，得收益为０．６亿元．所以当电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是０．６亿元．点评：函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为函数问题．根据题意，找出变量之间的关系，建立适当的数学模型是解题的关键．六、方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解.一般方法是认真分析题中的各个量以及相互关系，用一个或者几个等量关系描述题目中所有的相等关系，建立方程（组）模型，进而确定未知数的值，使问题获得解答.例10（2012年济宁市）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗