数学中考部2013春季周末班相似三角形小结(0518)

数学中考部：2013春季周末班相似三角形小结（0518）一、如何证明三角形相似相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA例1、如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.求证：AP²=PQ·PR.例2、如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.（1）求AE:AC的值（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.例3、如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.（1）求证：△CEB≌△ADC；（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。ABCDEAABBCCDDEEABCDE12AABBCCDDEE12412BEACD12EFAFFCFD求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证明MA2=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相似的三角形。（2）本例的关键是证明△MAE∽△MDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命题2如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。例4、如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.求的值.三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且31ADAFABEB。求证：∠AEF=∠FBD例2、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD例3、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FGABCD1ABCDEFGOABCDEF四、动点问题例1、在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？ABCDFGE