数学学案数列与函数的极限

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网数列与函数的极限（2）一、知识回顾1、函数的极限1）当x→∞时函数f(x)的极限:○1axfx)(lim；○2axfx)(lim；○3axfx)(lim当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作axfx)(lim,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作axfx)(lim,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题)(limxfxaxfx)(limaxfx)(lim令2121(1)();(2)().xfxfxxx，分别求lim(),lim(),lim().xxxfxfxfx2）当x→x0时函数f(x)的极限:○1axfxx)(lim0；○2axfxx)(lim0；○3axfxx)(lim0如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作axfxx)(lim0。如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作axfxx)(lim0。注：1axfxx)(lim0与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。2)(lim0xfxxaxfxx)(lim0axfxx)(lim0。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限)(lim0xfxx)(lim0xfxx；②0xx时，xf，③0xx时，xf的值不唯一。4）函数极限的运算法则：若axfxx)(lim0，bxgxx)(lim0，那么baxgxfxx)]()([lim0；abxgxfxx)]()([lim0；)0()()(lim0bbaxgxfxx；)(lim0xfcxxcaxfcxx)(lim0；nnxxnxxaxfxf)](lim[)]([lim00。注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网5）两个重要的极限：exxxxxx11lim,1sinlim0；和一个法则：罗必塔法则：000limxgxfxgxfxx2、函数的连续性(1)函数连续性的概念:①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且)()(lim00xfxfxx,就说函数f(x)在x=x0处连续。注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且)()(lim00xfxfxx（或)()(lim00xfxfxx）。③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。(2)函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(xgxf(g(x)≠0)也在点x0处连续。②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。(3)初等函数的连续性:①基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。（3）图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即)(lim0xfxx不存在图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于)(lim0xfxx不存在本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网图丙表示的是)(lim0xfxx存在，但函数f(x)在点x0处没有定义图丁表示的是)(lim0xfxx存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、基本训练1、lim()oxxfxlim()oxxfxa是函数在点xo处存在极限的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2、m0,n0时，22220limxmxmnxn的值是（）（A）mn（B）0（C）1（D）nm3、223215lim5724xxxxx（）（A）0（B）1123（C）－1123（D）不存在4、212limxxx的值为（）（A）1（B）0（C）－1（D）±15、f(x)=210x1xx下面结论正确的是（）（A）1lim()xfx1lim()xfx（B）1lim()xfx2，1lim()xfx不存在（C）1lim()xfx0，1lim()xfx不存在（D）1lim()xfx≠1lim()xfx6.（05江西卷）8．11(1)1lim1,lim1(22)xxfxxxfx若则A．－1B．1C．－21D．217.(05辽宁卷)极限)(lim0xfxx存在是函数)(xf在点0xx处连续的A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件8.（1）指出下列函数的不连续点：本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网①232)(22xxxxf；②2tan)(xxxf；③)1(4)1(12)(xxxxxf（2）已知)1(2)1(1)(32xaxxxxf，确定常数a，使)(lim1xfx存在。三、例题分析例1：判断下列函数的极限是否存在：（1）xfxxxxxfxlim,011012（2）xgxxxgx0lim,0102（3）xpxxxxxpx1lim,1111（4）,1aaxfx，xfxlim例2：设0,10,00,)(xexxbaxxfx，问a，b为何值时，)(lim0xfx存在。例3：求下列各极限(1)lim2x(442x21x)；(2)xlim(xbxax))(()(3)||lim0xxx；(4)2sin2coscoslim2xxxx(5)limxx)31(例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：01523xx是否存在实数根。例5：已知,22lim22nxmxxx求nm,例6：)(xf为多项式，且5)(lim,14)(lim023xxfxxxfxx，求)(xf。本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网答案：基本训练1—7、CBBCBCB例1（1）不存在，（2）不存在，（3）存在，（4）不存在，例2、当b=2，a为任何实数时，)(lim0xfx存在。例3.(1)14(2)ab(3)不存在(4)2（5）x时，limxx)31(不存在。例4解：设152)(3xxxf，则)(xf在R上连续，又038)3(,1)0(ff，因此在[－3，0]内必存在点x0使得0)(0xf，所以x0是方程01523xx的一个实数根，因此方程01523xx有实根。例5.3m，1n例6.xxxxf54)(23。四、作业数列与函数的极限（2）1．11lim21xxx的值为（）A．不存在B.2C.0D.12．)81221(lim32xxx（）A．0B.21C.1D.213．若1)12(lim2nbnnan，则ab的值是（）A．42B.82C.8D.164．下列各式不正确的是（）A．321332lim22xxxxB．013124lim42xxxxC．417812lim23xxxxD．6131lim93lim323xxxxx5．给出下列命题本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网（1）若函数f(x)在x0处无定义，则)(lim0xfxx必不存在；（2）)(lim0xfxx是否存在与函数f(x)在x0处是否有定义无关；（3）)(lim0xfxx与)(lim0xfxx都存在，则)(lim0xfxx也存在；（4）若)(lim0xfxx不存在，则2)(lim0xfxx必定不存在.正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．36.（05全国卷Ⅲ）22111lim3243xxxxx(A)A12B12C16D167.（05湖北卷）若1)11(lim21xbxax，则常数ba,的值为（C）A．4,2baB．4,2baC．4,2baD．4,2ba8.（04年广东卷.3）函数2322,2()42,2xxfxxxxa在2x处连续，则a（）A.13B.14C.14D.129.（04年福建卷.理14）设函数)0()0(11)(xaxxxxf在0x处连续，则实数a的值为.10．._____)51()1(lim5250xxxxx11．11lim1nmxxx(m和n为自然数)=________.12．xxx)1ln(lim0=_______.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网13．若f(x)=1)1(122xxx的极限为1，则x的变化趋向是______.14．（1）933lim23xxxx=（2）11lim22xxxxx=15．讨论函数f(x)=1,00,0,1,0xxxxx当0x时的极限与在x=0处的连续性.16.讨论函数24)(2xxxf的连续性；适当定义某点的函数值，使)(xf在区间(－3,3)内连续。17.已知函数)51()1(log)11()2()1(2)(2xxxxxxxf(1)讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。