数学建模案例分析--对策与决策方法建模2矩阵对策模型

§2矩阵对策模型具有竞争或对抗性质的现象称为对策行为。在对策行为中，各方面要达到自己的目标，必须考虑对手的各种可能行动方案，从而选出对自己的最有利的策略。在一个对策行为中，有权决定自己的行动方案的对策参加者称为局中人。一般在一个对策中至少有两个局中人，我们把只有两个局中人的对策称为二人对策，而多于两个局中人的对策称为多人对策。策略是指在一个对策中，可供局中人采用的实际可行的完整方案。每个局中人策略的全体集合称为策略集。每个局中人从自己的策略集中选择一个策略，便构成一个局势。当局势确定了，则对策的结果就确定了。对每个局中人而言，就是或胜或负、名次的前或后、财物的收入或支出等等。这些结果可以用数字来表示，于是我们得到在全部局势集合上的一个实值函数，用它来描述每个局势完结后局中人的得失，这个函数称为赢得函数。在任一局势中，全体局中人的赢得函数值和等于零时，称为零和对策。其实，如果每种对策组合的结果是一个和具体对策组合无关的常数，也都可以作为零和对策。一般二人有限零和对策的赢得函数可用表格形式表示出来，这个表格又可用矩阵A来表示。在对策模型G中，设甲、乙为两个局中人，甲和乙的策略集分别为},,,{211mS和},,,{212nS，当甲选定策略i，而乙选定策略j时，就有了局势),(ji，对此局势局中人甲的赢得函数值为ija，我们称nmijaA)(为局中人甲的赢得矩阵。因此也称G为一个矩阵对策，记为};,{21ASSG。为了不和后面的有关概念混淆，以后称策略为纯策略，称局势为纯局势。对于一个矩阵对策，在什么情况下，对策双方才能选出对自己的最有利的策略？即存在最优纯策略的条件是什么？下面通过一个例子加以阐述。如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三个、甲台节目收视率（%）如下表所示：表1甲台节目收视率（%）乙台节目1节目2节目3甲台节目A704535节目B454050节目C555055节目D604550为获得最大收视率，他们各自会采取什么样的对策呢？分析情况可以用通过下表表示。表中最后一列的数字是同一行数字中的最小值。例如表中第三行对应甲台播放节目A，最后一个数字是35，它是70、45、35是三个数字中的最小值，称之为甲台节目A收视率的保守估计。这个数字表示当甲播放节目A时所能得到的最起码的收视率。而在这一列上面的第一个数字a（=50），是甲台各节目收视率保守估计（35，40，50，45）中的最大值。a表示在所有可能的选择中，甲台所能得到保证的收视率中的最大值。a=50所对应的节目C，也是甲台最稳妥的选择。表中的最后一行是同一列数字中的最大的值。例如该行的第三个数字是50，它是45、40、50、45四个数字中的最大值。这个数字对应乙台播放节目2时的情况，说明当乙台播放节目2时，只要甲台应对得当（此时甲应该播放节目C），甲台所能够得到的最高收视率。这个数字称为乙台播放节目2时甲台收视率的乐观估计。该行的第一个数字b=50是所有这一行中数字中的最小值。表示的是对乙台所有可能的选择，只要应对得当，甲台所能获得的最起码的收视率。在右下角的数字c与a、b相等，这里是50。对应这个数字的是甲台播放节目C，乙台播放节目2，各获得50%的收视率。这就是两家电视台会采取的科学对策。表2基于甲台节目收视率的双方对策分析表（%）乙台节目节目1节目2节目3a=50甲台节目节目A70453535节目B45405040节目C55505550节目D60455045b=50705055c=50设ija为甲台播放节目i（A、B、C、D）和乙台播放节目j（1、2、3）时甲台的收益，那么此解满足：**maxminminmaxjiijijijjiaaa。这便是矩阵对策双方存在最优纯策略的条件。下面具体分析双方采取其他对策组合会发生什么情况。结论将是：任何一方改变选择都将降低自己的收视率，从而双方都不会采用除此以外的其他对策。这也是称此决策为“均衡对策”的原因。假设甲台不播放节目C而播放节目A，期望得到更高的收视率（70%）；但是此时乙台播放节目3，使甲台只能得到35%的收视率，比均衡对策组合中甲得到的收视率（50%）低。而如果乙台不是播放节目2，而是播放节目3，期望得到更高的收视率（65%）。则此时甲台仍会播放节目C，使得乙台只得到45%的收视率，也将低于均衡对策组合50%的收视率。其他对策组合也将有同样的结果，因而，甲台播放节目C、乙台播放节目2是双方都能接受的结果。在矩阵对策};,{21ASSG中，若Vaaajiijijijji**maxminminmax，称这个公共值V为对策G的最优值，取得这个公共值V的纯局势),(**ji称为G的纯策略意义下的解，也为G的鞍点。而*i和*j分别称为局中人甲和乙的最优纯策略，也称纳什均衡解。};,{21ASSG在纯策略意义下有鞍点存在的充分必要条件是存在一个纯局势),(**ji，使得对一切i和j，均有njmiaaajijiij,,2,1;,,2,1,****成立。