数学建模高考志愿选取的层次分析

高考志愿选取的层次分析班级：数学（2）班学号：1207022013姓名：刘燕正文摘要：本文在提取大量数据的基础上，在综合考虑每年的各高校的录取分数线及平均分，运用概率统计和模糊数学的方法，将学校往年的录取分和考生的原始分转化为标准分，以排除每年考试的难易程度带来分数波动的影响。另外，运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。最后计算被录取的概率。最后，根据我们的研究分析，对考生填报志愿给出建议。关键词：高考志愿概率统计模糊数学层次分析标准分权重1问题的提出：高中毕业生在选报高考志愿时，通常要考虑到该学校的声誉、教学、科研及环境条件，同时又要结合本人的兴趣，考试成绩和毕业后的出路等因素，在每一因素中又有干扰子因素的情况下，做出最佳选择。2模型的假设首先，我们确定目标为：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：学校声誉（B1）、教学水平（B2）、学校环境（B3）、兴趣爱好（B4）、报考风险（B5）、毕业后出路（B6）、地理位置（B7），同时在教学水平（B2）中我们还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3）这三个子因素。最后我们将从学生提出的四个志愿中，做出决策。为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图填报高考志愿A学校声誉教学水平约束层1目标层约束层2方案层学校环境兴趣爱好报考风险毕业后出路地理位置学校D1学校D2学校D3学校D4教师水平学生水平教学设备C1C2C3B1B2B3B4B5B6B73建立模型（一）构造成对比较阵面临的决策问题是：要比较n个因素x1，x2…，xn，对目标A的影响，我们要确定它们在A中所占的比重，即这n个因素对目标A的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。设有因素x1，x2…，xn每次取两个因素xixj，用正数aij表示xi与xj的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A=（aij），称作成对比较阵A。nmnnnnaaaaaaaaa,,,,,,,212,2221112,11显然有njiaaaijijij,1,0,1。然后求出成对比较矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量Y=(y1,y2,…,yn)T，定义标准化向量TniinniiniiYYYYYYY11211,,,'。用标准化向量Y′来反应nxxxx,,,21这n个因素对目标A的相对重要性，Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。（二）权向量对于已知的成对比较阵A来说，有A•Y=Ymax。由矩阵运算法则可知：当n较大时，精确地计算成对比较A=（aij）的最大特征值max和特征向量比较麻烦，而又由于A中的元素aij是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出max和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算max和相应的特征向量。对成对比较阵A=（aij），令),,,2,1(111nkaaUninjijnjkjk（*）称U=（U1，U2，…，Un）T为X={x1，x2，…，xn}的权向量，它反映n个因素对目标A的相对重要性。经验证，U与Y′误差很小，所以一般都用U代替Y′。对于公式（*），对于一致性矩阵，,iiijyxa即满足aij•ajk=aikUk可以简化为,1111niiknjjniinjjkkxxxxxxU则),,2,1(,,,11211nixxxxxxUTniinniinii.Xi代表第i项因素的重要性指标。4模型的求解下面将调查两名学生（A1，A2），根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。设七种因素学校声誉、教学水平、学校环境、兴趣爱好、报考风险、毕业后出路、地理位置分别为B1，B2，…，B7。在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平C1、学生水平C2、教学设备C3。学生所要报考的八个志愿分别为K1，K2，…，K8。同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。（一）考查学生A1（目标A1）(1)考虑B={B1，B2，…，B7}这七个因素对目标A1的相对重要性。B1B2B3B4B5B6B7目标A11095710102U（x）=（0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037）T。(2)考虑C={C1，C2，C3}这三个因素对目标A1的相对重要性。C1C2C3目标A1896U（y）=(0.348,0.391,0.261)T。经调查学生A1所要选报的八个志愿为：北大国际金融、北大临床医学、北大生化、清华建筑、南开机电、北京体院、复旦物理、清华数学，分别设这八个志愿为K1，K2，…K8。(3)考虑对于因素C1，C2，…C3，比较K1，K2，…K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素C1101010101091010因素C21010101096810因素C39910109999Wc1（K）=（0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127）T,Wc2(K)=(0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137)T,Wc3(K)=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0.122,0.122)T。(4)考虑对于因素B1，B3，B4，…，B7，比较K1，K2，…K8的相对差异。K1K2K3K4K5K6K7K8因素B1109101096910因素B310101010109910因素B4109754773因素B51217810106因素B6101010107577因素B710101010910810WB1(K)=(0.137,0.123,0.137,0.137,0.123,0.083,0.123,0.137)T,WB3(K)=(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128)T,WB4(K)=(0.192,0.173,0.135,0.096,0.077,0.135,0.135,0.057)T,WB5(K)=(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134)T,WB6(K)=(0.152,0.152,0.152,0.152,0.106,0.074,0.106,0.106)T,WB7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130)T最后再计算学生A1所选报的八个志愿的得分：WA1(K1)=U(x1)•WB1(K1)+733121)()()()()(jiiCiiBjjKWyUxUKWxU0.189×0.137+0.094×0.128+0.132×0.192+0.189×0.022+0.189×0.152+0.037×0.130+0.170×(0.348×0.127+0.391×0.137+0.261×0.122)=0.12312.WA1(K2)=0.12213，WA1(K3)=0.11618，WA1(K4)=0.13636，WA1(K5)=0.12467，WA1(K6)=0.12299，WA1(K7)=0.13806，WA1(K8)=0.11772很显然，得分排在前四位的志愿为K7，K4，K5，K1，也就是说复旦物理、清华建筑、南开机电、北大国际金融这四个志愿最适合A1报考。5模型的改进与推广（1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为该学生选择了四所最有希望考上的学校。但这只是在理想状况下的结果，有很多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填报志愿时所报考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将学生所选择的八个学校定量地排了个名次，所以学生在填报志愿时不能将得分前四名的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实际情况和侧重点。（2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即aij），而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标，然后再用jixx做出矩阵。这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易）。如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即aij），而将其所构成的成对比较阵就可能会出现一致性问题。下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。对于成对比较阵A来说，其中的关系应满足,,,1,nkjiaaaikjkij这样的成对比较阵A为一致矩阵。而由于人的思维活动的原因，人们用ija构成的成对比较阵A往往不是一致矩阵，即ikjkijaaa,所以在分析X={x1,x2,…,xn}对目标A的影响时，必须对A进行一致性检验。因为n阶成对比较阵A是一致矩阵，当且仅当A的最大特征值nmax，所以若A不具有一致性，则nmax。于是我们引入一致性指标1)(maxnnACI。将CI作为衡量成对比较阵A不致程度的标准，当)(maxA稍大于n时，称A具有满意的一致性。此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里RI为平均随机一致性指标（查表可得），CR称为随机一致性比率，可以用CR代替CI作为一致性检验的临界值。当CR﹤0.1时，就认为A有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵A，直到达到满意的一致性为止。（3）关于报考风险。对于因素B5（报考风险）使用了正态分布的方法进行估算，首先调查学生A1的平均成绩和最高成绩，然后调查出他的所报学校在去年的录取分数线，最后利用正态分布计算出他的报考的风险（即考上的概率），然后按0%～10%记1，11%～20%记2……90%～100%记10，将百分比转化为重要性指标。参考文献[1]同济大学应用数学系，工程数学概率统计简明教程，高等教育出版社，2003年7月[2]周义仓、赫孝良，数学建模试验，西安：西安交通大学出版社，2002年7月