数学归纳法教案(张晓斌)

1《数学归纳法及应用举例》第一课教学设计重庆市教育科学研究院张晓斌教学目标：一、知识目标1．了解归纳法的意义.2．理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题.二、能力目标1．通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想.2．学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力.三、情感目标1．在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲.2．在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神.教学重难点：一、重点1．初步理解数学归纳法的原理.2．初步会用数学归纳法证明简单的数学命题.二、难点1．对数学归纳法原理的理解.2．为何要利用假设证明n=k+1时命题正确.教学过程：一、创设情景师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景：情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球.师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色.师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？生甲：全为红色.生乙：不一定.师演示：摸出一个白色球.师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确.情景二：给出一个数列的通项公式.板书：an=(n2-5n+5)2.学生分组计算：a1,a2,a3,a4.师：请同学们猜想an=?(n∈N*).生齐答：an=1.师生一起计算：a5=25，否定结论.情景三师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？生：根据前四项的规律，归纳出来的.板书：观察等差数列的前几项：2112131410,1,2,3,aadaadaadaad你发现了什么规律？试用1a、n和d表示na.生：an=a1+（n-1）d(n∈N*).师：以上三个情景说明一个什么问题？（师生共同观察、分析、讨论）生甲：结论有的正确，有的不正确.生乙：都是由几个事例得出的结论，有的正确，有的不正确.师：还有什么补充？生丙：这些问题与自然数有关.生丁：这种由有限个事例推出一般结论的方法不能作为证明方法.师：象这样由有限多个特殊事例归纳出一般结论的方法叫归纳法（板书归纳法），得出的结论不一定正确,也不能作为论证方法.师：用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但得出的一般结论并不一定可靠.再如法国著名数学家费尔马曾由0,1,2,3,4n得到221n均为质数而推测：n为自然数时，221n都是质数，但这一结论是错误的.因为瑞士大数学家欧拉发现，5n时，221n是一个合数：22142949672976416700417n.师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与正整数有关的命题()Pn，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能.因为这类命题中所涉及的正整数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.二、探索发现师：前面学习的等差数列通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确.一旦错误，我们已经建立的数学大厦必将倒塌，必须对它进行抢救性证明.如何证明这类有关正整数的命题呢？生甲：一一列出各项.生乙：不可能全部列出.师：人精力有限，不可能也不必要一一列出各项,我们一起来探索新的证明方法.我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法，就是递推.师：要使n块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？生甲：摆放距离要恰当.生乙：牌的大小、重量要合适.3师：我们只研究数学方面的条件，应找出数学模型.生丙：第一块倒下，后面接着倒下.师：总结同学的发言，需要条件如下：（1）第一块要倒下.（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.再如：前面从一个袋子里第一次摸出的是一个红球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，能否断定这个袋子里装的全是红球？生：能断定.师：类似地，证明一个关于正整数n的命题需要证明哪几条？（通过学生充分探索、讨论3分钟）生甲：第一条，n=1时，命题成立；第二条，n取前面一个值成立时，n取后面一个值也成立.师：关于一个正整数n的命题，n一定可以取1吗？生乙：不一定，如多边形内角和定理(2)180(3)nn.师：所以第一条是n取第一个值n0时，命题正确.师：如何用数学语言来刻画n取前面一个值命题成立时，n取后面一个值也成立呢？生丙：n=1命题成立时，n=2命题也成立；n=2命题成立时，n=3命题也成立.以此类推.生丁：证明不完，前面一个n值用一个字母表示.师：对.就用k表示吧.生丁：若当n=k时，命题成立，则n=k+1命题也成立.师：归纳同学们的意见，总结如下：板书：第一条：证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时，命题成立.第二条：假设当n=k（k∈N*，且k≥n0，）时命题成立.证明当n=k+1时，命题成立.师：证明了这两条命题一定成立吗？生：一定成立.师：为什么？生思考后，由第一条，n取第一个值命题成立了，由第二条n从第一个值开始，取后面的值一个接着一个都成立了.这两步实质上具有递推性.师：很好，这种证明命题的方法叫做数学归纳法.需证明的两条就是证明的两个步骤.（1）是递推的始点；（2）是递推的依据.步骤（1）是一次验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤（2）用的是演绎推理.板书：第一步n=1时命题成立n=2时命题成立由第二步n=1+1也成立n=3时命题成立由第二步n=2+1也成立由第二步n=3+1也成立4n=4时命题成立……即n∈N*时，命题均成立师：上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明命题正确性的过程，它的两个步骤保证了命题无限递推是正确的.师：同学们，从以上推理链你们发现了什么？生甲：只要完成了证明的两个步骤，就完成了证明.生乙：两个步骤缺一不可.师：同学们的发现很好！第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.（用展示平台展示用数学归纳法证明命题的两个步骤.）下面尝试用数学归纳法证明等差数列的通项公式.三、尝试证明板书：已知{an}是等差数列，公差为d.求证：an=a1+(n-1)d.在教师的组织下，师生共同完成证明.师进行叙述示范.在证明过程中，教师适时提出两个问题让学生思考讨论.问题一：假设n=k时等式成立，如何翻译成数学式子？这个式子是作为已知利用或是需要证明的？问题二：证明n=k+1时等式成立需证明的目标是什么？四、应用举例例1：用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n2.此例的教学过程为：（1）学生先独立完成，在完成过程中师生之间、生生之间可以相互交流讨论.（2）教师在适当时候提出两个问题：①如何造成利用假设的条件？②证明n=k+1等式成立的证明目标是什么？（3）学生基本完成后，教师用平台展示学生的证明过程，师生共同点评.用实物展示平台展示学生的错误做法：（1）1n时，左＝1，右＝1，等式成立.（2）假设nk时等式成立，即2135(21)kk.则1nk时，2[12(1)1](1)135(21)[2(1)1](1)2kkkkk∴当1nk时等式成立，由（1）和（2）可知对任何*nN等式都成立.师：上面的证明方法是数学归纳法吗？学生讨论.师：从形式上看用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明1nk正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式，数学归纳法的核心是证明命题的正确具有递推性.仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的.那么，没有第一步行吗？学生讨论.师：让我们看一个例子：试问等式224621nnn成立吗？设nk等式成立，即224621kkk，则2224622(1)122(1)(1)1kkkkkkk.5∴当1nk时等式成立，故对任何*nN等式都成立.师：对吗？学生讨论.师：事实上，当1n时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边.左边总是偶数，右边总是奇数，该等式不可能对*nN都是成立的.师：因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.五、练习反馈课堂练习：用数学归纳法证明：1+2+3+……+n=21n（n+1）根据学生练习情况教师随时加入讨论.学生基本完成后,在平台上学生自愿展示自己的作品,师生共同点评.七、归纳小结师：通过本课学习，同学们学到了哪些知识或方法？有什么体会？在同学充分思考、讨论的基础上，用平台展示小结：1.数学归纳法是科学的证明方法,利用它可以证明一些关于正整数n的命题.2.数学归纳法证明命题的两个步骤:(1)当n取第一个值n0(例如n0=1或2等)时命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*，且kn0)时命题成立，利用它证明当n=k+1时命题也成立.3.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可.4.证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设.5.证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标.6.归纳法是一种推理的方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察――猜想――证明”是解答与正整数有关命题的有效途径.八、布置作业1．用数学归纳法证明：（1）1+2+22+……+2n-1=2n-1（2）首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式是：an=a1qn-12．思考题用数学归纳法证明命题为什么两个步骤缺一不可？【教学设计说明】本课采用交往式的教学方法,师生之间,学生之间在整个学习活动中相互交流,相互促进.教师在本课中的主要作用是提出研究课题,组织学生参加探究学习并以学习者的角色参与学习活动.师生一起提出问题让学生充分探究解决问题,并让学生对解决问题的方法、过程、结论进行判断,使学生主动参与知识的发生、发展全过程,在探究问题、解决问题中学习.通过分组讨论,使学生在合作学习中明辨是非,对就对、错就错,从中学会尊重人、理解人,培养了学生求真务实和科学人文精神.基本教学环节是:创设情景―探索发现―尝试证明―升华理解―应用举例―归纳小结.这种教学方法充分体现了以学生为中心,以学生和教师为主体的双主体教学理念.6本课教学过程的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开.这样设计有利于在探究解决问题方法的过程中激发学生的好奇心和强烈的求知欲望,使学生主动地、积极地、全身心地投入到学习活动之中；有利于学生发现问题、提出问题、分析问题和创造性地解决问题，使教学过程成为学生再创造、再发现的过程，从而培养学生解决问题的能力和创新意识。对教学归纳法原理的初步理解既是本课的重点也是本课的难点。本课采用四个阶段来突出和突破这个难点.第一阶段,由多米诺骨牌游戏类比出两个步骤,使学生对原理有了直观感知.第二阶段,学生通过对等差数列通项公式的证明,对原理有了初步的感性认识.第三阶段,通过为什么可以假设n=k的等式成立的探究,得出逻辑推理链,使学生对原理由感性认识上升为理性认识.第四阶段,在处理例1时,通过对能否用等差数列求和公式证明n=k+1等式成立的探究,使学生对原理的理解进一步加深.这种由浅入深,层层递进的探索,符合学生的认识规律.