数学实验教程_实验19(格林公式及其应用)

实验19格林公式与形心实验目的作为计算二重积分的一种手段，格林公式把函数在一个域上的二重积分和一个相关的向量函数在围绕这个区域的边界的线积分联系起来，本实验中我们将要考虑如何求一些比较复杂的平面区域的形心。预备知识曲线积分、格林公式、形心实验内容计算复杂区域的形心【原理】【格林公式】设区域D由分段光滑的曲线L围成，函数Pxy(,)及Qxy(,)在D上具有一阶连续偏导数，则有DLQPxydxdyPdxQdy()其中L是D的区正向的边界曲线。格林公式的三种特殊情况：（１）若PyQx,，则DLdxdyxdyydx12()；（２）若xPQ220,，则DLxdxdyxdy212；（３）若PyQ212,0，则DLydxdyydx212。（１）可以用来计算区域D的面积，（2）和（３）可以用来计算区域D关于y轴和ｘ轴的矩。【步骤】：众所周知，平面区域D的形心的坐标xy(,)由公式DDDDxdxdyydxdyxydxdydxdy,给出，其中分子的积分是关于区域的坐标轴的矩，分母的积分是区域的面积。对于形状比较好的区域，这些几分可以通过累次积分算出，但是对于比较复杂的不规则的区域，如一个国家的州（省）的几何中心，用一定的方式作积分计算几乎是不可能的。为了计算形心坐标，一般可采用如下两步骤：实验19格林公式及其应用-107-【Step1】：用一条简单曲线（如多边形）路径近似代替区域的边界；【Step2】：利用格林公式将多边形区域上的二重积分化为围绕边界的线积分。【公式推导】：下面推导区域D为多边形nnnnxyxyxyxy112211{(,),(,),,(,),(,)}，其中nnxxyy1111,时的公式。我们只需要分别计算出分子和分母即可。设连接点iixy(,)和iixy11(,)的直线段iL的参数方程为iiiixttxtxtyttyty11()(1),[0,1]()(1)则1211111112011112121321112231221[((1))()((1))()]()[,,,][,,,]inDLiniiiiiiiiiniiiiinnnndxdyxdyydxtxtxyytytyxxdtxyxyyyyyxxxxxxyy1221111220112211116121322222221112222331161((1))()[()()][,,,]inniiiiDLiiniiiiiiinnnnnnxdxdyxdytxtxyydtxxxxyyyyyyxxxxxxxxxxxxyy-108-第二章专题实验1221111220112211116121322222221112222331161((1))()[()()][,,,]inniiiiDLiiniiiiiiinnnnnnydxdyydxtytyxxdtyyyyxxxxxxyyyyyyyyyyyyxx有了上面的公式，我们可以利用它们来计算顶点为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,2)，(1,4)的五边形区域的形心。利用所附程序计算得到xy16439(,)(,)。实验练习选择一个复杂的平面图形，然后利用上述方法计算其形心。参考程序：(Matlab程序)clearn=5;x=[012310];y=[001240];S=(x(1:n)*y(2:n+1)'-x(2:n+1)*y(1:n)')/2;Mx=1/6*(x(1:n).^2+x(1:n).*x(2:n+1)+x(2:n+1).^2)*(y(2:n+1)-y(1:n))';My=-1/6*(y(1:n).^2+y(1:n).*y(2:n+1)+y(2:n+1).^2)*(x(2:n+1)-x(1:n))';x0=Mx/Sy0=My/S（mathematics程序）AreaMoment[vertices_]:=Module[{pts},pts=Append[vertices,vertices[[1]]];Sum[(pts[[i,1]]pts[[i+1,2]]-pts[[i+1,1]]pts[[i,2]]),{i,1,Length[pts]-1}]/2]xMoment[vertices_]:=Module[{pts},pts=Append[vertices,vertices[[1]]];Sum[(pts[[i,1]]^2+pts[[i,1]]pts[[i+1,1]]+pts[[i+1,1]]^2)(pts[[i+1,2]]-pts[[i,2]]),{i,1,Length[pts]-1}]实验19格林公式及其应用-109-/6]yMoment[vertices_]:=Module[{pts},pts=Append[vertices,vertices[[1]]];-Sum[(pts[[i,2]]^2+pts[[i,2]]pts[[i+1,2]]+pts[[i+1,2]]^2)(pts[[i+1,1]]-pts[[i,1]]),{i,1,Length[pts]-1}]/6]