数学方法运用与数学拓展课课例的实践研究

1上海市教科研规划项目─南汇区第一中学《在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究》关注教师知识储备辅导学习材料（2）数学方法运用与数学拓展课课例的实践研究关键词：运用数学方法关注过程性变式数学课例撰写实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。《上海市中小学数学课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。一、数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。“合理的联系”实践可表示为：第1讲分类讨论方法的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。其中的关键是确定分类的标准。例1、化简aa（a为实数）。2分析：对于a应分三种情况讨论：0000aaaaaa，　　　　，　　　，　　解：原式），（），（），（00000002aaaaaaaa例2、化简a2（a为实数）。解：分类：令02a，则2a,原式），（），（），（22)2(2022aaaaaa例3、化简：12xx。分析：先求界点。由02x，得2x；由01x，得1x。借助数轴分类：解：原式），（），（），（112)1()2(2131)2(2112xxxxxxxxxx例4、解关于x的方程axx8121。分析：由axx82得41a，显然41a为界点。解：（1）当41a时，原方程的解为2x的一切实数；（2）当41a时，原方程化为)8(2axx，由axx82得41a，矛盾，舍去；由)8(2axx得14ax，综上可见：41a时，原方程的解为2x的一切实数；41a时，原方程的解为14ax。反思：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略，许多数学问题很难从整体上去解决，但只要将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个解决，分类讨3论的思想实质上就是各个击破的策略。其思维过程是：分析题意确定分类逐个解决归纳总结练习：1、a为实数，化简aa2。2、x为实数，化简52xx。3、解关于x的方程6121xax（a为实数）。答案：1、原式），（），（），（03000aaaaa2、界点：5x，2x。当2x时，原式3252xxx；当25x时，原式752xx；当5x时，原式32)5(2xxx。3、由62xax得3a，显然3a为界点。当3a时，原方程的解为6x的一切实数；当3a时，原方程转化为)6(2xax，由62xax得3a，矛盾，舍去；由)6(2xax得3ax。归纳可见：3a时，原方程的解为6x的一切实数；3a时，原方程的解为3ax。作者：复旦康桥学校王敏指导老师：王庆英考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。第一次讲授时例4为：化简3221xxx，评课时大家认为初一学生在探究例4时要求太高，为此引用了解x的方程axx8121让学生在化简时学会运用分类方法，也学会运用分类方法去解方程中涉及到的问题，课例分析使第71讲形成了动态的、内在的、层次性递进的过程，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。第71讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。二、运用数学方法的实践：以拓展课为载体的运用数学方法的实践教学常规的数学教学是通过教师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练，使智优学生常常感到枯燥无味，如同嚼蜡。而运用数学方法的过程性变式训练实践常能成为提高智优学生数学素质的练兵场。第44讲函数思想应用运动变化、相互联系、对应制约，是客观世界的普遍规律。函数思想就是这一规律在数4学中的反应。在解决问题中，常要建立一定的等式，寻求某种对应制约的关系，这就是函数，函数思想是解决许多数学问题的基本思想。例1、某水果批发市场规定：批发苹果不少于100千克时批发价每千克2.5元。小李携带现金3000元到这市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小李付款后的剩余现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。解：)1200100(5.23000xxy。例2、有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利1.5%，如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，这批货在月初售出还是月末售出好？解：设这批货成本a元，月初售出到月末可获利润：11000(1000)1.5%0.0151015Paa（元），月末出售可获利润2P=1200-50=1150（元），)9000(015.0135015.021aaPP∴当9000a时月初售出好；当9000a时月初月末售出结果相同；当9000a时月末售出好。例3、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥送到C、D两农时，A城运往C、D两地的运费分别是20元/吨与25元/吨，B城运往C、D两地的运费分别是15元/吨与22克/吨，若已知C地需220吨，D地需要280吨，请算一下，如何调运化费最省钱？解：思路一：设从A城运往C村x吨，则运往D村(200)x吨，从B城运往C村(220)x吨，运往D村(80)x吨。设需要总费用为y元，则2025(200)15(220)22(80)210060yxxxxx(0200)x，当0x时，10060ymin,故只要从A运往D200吨，从B运往C220吨，运往D80吨时运费最小，为10060元。思路二：例4、某工厂现在甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品要用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数有哪几种方案，请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种产品的生产件数设为x，试用含有x的代数式表示y，并说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大总利润是多少？解：（1）设安排生产A种产品x件（)Nx，则生产B种产品50-x件由题意知：290)50(103360)50(49xxxx得3032x，而xN，30x，31，32，对应的50x20，19，18，∴有三种设计方案，分别为：生产A30件，B20件；生产A31件，B19件；生产A325件，B18件。（2）7001200(50)60000500yxxx，∴当30x时，600001500045000ymax（元），∴当生产A种产品30件，B种产品20件时利润最大，为45000元。反思：在某些特定的条件下，等式可以转化为函数；而求函数)(xf的零点，就是解方程0)(xf，因此许多有关方程的问题可用函数思想来解决，反之许多函数的问题也可用方程思想来解决。方程与函数存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式来表示，则这个表达式就可看作是一个方程；如果一个二元方程的两个未知数之间存在着一一对应关系，则这个方程也可看作是一个函数。因此，方程、函数的许多问题可以通过相互转化来解决。所以方程、函数思想是解决许多数学问题的基本思想。其思维流程是：练习：1、在边长为2的正方形ABCD的一边BC上有一点P，从B点运动到C点，设xPB，APCD的面积S，写出S与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。解：由题意可知2AD，2DC，xPC2，则xxDCADPCS42)22(21)(21，（20x）。2、某糖厂向B市销售糖块，如果从铁路托运，每千克需运费0.5元，若厂家派人从公路送，需出差补助费240元，然后每千克需0.26元，（1）设该厂向B市销售糖块为x千克，铁路运费为1y元，公路运送的费用为2y元，分别计算两种运送方案所需费用（建立表达式）。（2）当向B市销售糖块多少千克时，两种运送的费用一样？（3）就销售的糖块的重量为x千克，讨论哪种运送方案更合算。6解：（1）xy5.01；xy26.02402。（2）建立方程：xx26.02405.0，解得1000x，即当销售糖块1000千克的时候运费一样多。（3）显然，当1000x时，铁路托运合算；当1000x时，一样费用；当1000x时，公路运送合算。从例1、例2的“知识固着点”到逐层递进的例3、例4递进到练习1、练习2，通过反思和思维的流程让学生体验过程性变式、分层递进的解题策略和过程，从中让学生感受过程性变式的变化和意义。三、运用数学方法的研究：关注学生思维方法综合能力的培养和兴趣培养第106讲数学思维与诗情画意数学是人类思维的体操，将数学与诗情画意有机融合是不少专家、学者追求的一种意境。华东师大著名数学家张奠宙教授近日撰文中又一次提到王国维用辛弃疾诗词描述的意境：众里寻它千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，并指出一个学生如果没有经历过这样的意境，数学大概是学不好的了。这使我们想起，乾隆皇帝在游园时所作的娱乐诗：一片二片三四片，五片六片七八片；九片十片无数片，飞入草丛都不见。诗句抒发了乾隆对花瓣飞入草丛时产生的的一种心理意境，当然此诗与郑板桥的咏雪诗也很类同。这样一种意境如能在数学课中展示、衔接，是提高学生综合素质的一种催化剂。特别是诗词的比喻如此恰切，而诗词的意境又把表面枯燥的数学语句形象化、氛围化，进而使数学解题过程进入到一个五彩缤纷、引人入胜的境界。一、感受数学解题过程中的诗情画意在讲到数学建模思想的运用时有这样一道试题。例1.1、已知3个非负数a、b、c满足条件3a+2b+c=5，2a+b-3c=1。设3a+b-7c的最大值为S，最小值为t，求s-t的值。解：常规学生可使用建立同一个字母的数学模型的方法不妨建立c的数学模型：cbcacbacba11737312523∵0,0ba∴117730117037ccc而3a+b-7c=3c-2∴11121173S，752733t∴77487