数学模型在江苏省人口预测中的应用

数学模型在江苏省人口预测中的应用摘要:人口是国家和地区发展的重要因素，准确的人口预测是制定国民经济计划、区域发展规划的基础。文章应用了马尔萨斯模型,二次指数平滑模型和灰色GM(1,1)模型对对江苏省2006-2020年的总人口进行预测。包括模型的建立、参数的求解以及精度检验。结果表明几种模型的拟合精度都比较高，预测值比较接近，取几种模型的预测平均值作为江苏省总人口规模的预测结果，平均预测结果为2015年江苏省总人口将达到8141.96万人，2020年将达到8439.70万人。关键词:人口预测模型；马尔萨斯；二次指数平滑；GM(1,1)；江苏省人口问题是21世纪我国面临的最重大的问题之一。无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。人口预测是人口学领域及学科体系较为关键的部分，也是人口学界重点研究的领域。人口预测己经被广泛地应用到了人口发展战略规划、计划生育、人口管理等人口学意义上的领域，也正逐步的被运用于在劳动与社会保障、教育、城市规划、商业运作、投资决策等方面。长江三角洲地区是我国经济最发达的地区之一，江苏省位于长江三角洲地区，正处在经济快速增长的过程中，同时也面临着人口、资源和环境问题的压力。江苏省土地面积仅占全国的1.06%，人口却是全国的5.72%，人口数量多、密度高一直是该省较为显著的特点。不论人口问题、资源问题，还是环境与发展问题，最终都是因为人口数量失控而引起的。所以适度的人口规模是经济、社会、资源和环境保护协调发展的强有力保证。人口预测是指以规划区域或单位现有人口现状为基础，并对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件，来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法。人口预测的方法有很多，如:人口年增长法、马尔萨斯人口模型、Logistic增长模型、GM(1,1)灰色模型法、时间序列法、回归分析预测法、劳动平衡法、带眷系数法等。本文运用马尔萨斯人口模型、二次指数平滑模型和GM(1,1)灰色模型对江苏省人口规模在未来10年的发展做出预测。一、江苏省人口发展概况江苏省总人口从1978年的5834.32万人增加到2011年的7898.80万人，30多年时间增加了2064.48万人，年均增加60.72万人，平均年增长率为9.35‰。在这一过程中，总体趋势是在下降，但也有些年份增长变动比较大。总人口数逐年增长;各年之间的人口增长相对平稳。1978—1989年，年增长速度也比较平缓，年平均增长率仅为10.6‰，但1990年较1989年人口增加较多，年增长率为35.4‰，这是由于人口普查造成的数据异常;1991—2011年，年增长速度比较平缓，且增长速度下降，年平均增长率为7.4‰。新世纪以来，江苏省总人口在原有基础上，进入了一个更低的增长期。2001—2011年人口年平均自然增长率仅为2.36‰。从1990年以来，人口自然增长率与出生率呈现降低趋势，其降低幅度较小，而人死亡率变化较小，呈现稳定状态。但由于2000年之后国家人口流动政策的变化，由控制人口流动改变为鼓励人口流动，尤其是鼓励农村人口流动，江苏省作为全国主要吸收劳动力转移的省份的地位日趋凸现，江苏省总人口年平均增长率为6.85‰（见表1和图1）。尽管近年来，江苏省人口增长速度较慢，但每年出生人口的绝对数仍然很大，同时是外来人口的主要流入地之一，未来人口数量庞大和人口持续增长将在相当一段时间内并存。表1江苏省1978-2011年总人口数单位（万人）年份总人口年份总人口年份总人口年份总人口19785834.321987634819967110.1620057588.2419795892.5519886438.2719977147.8620067655.6619805938.1919896535.8519987182.4620077723.1319816010.2419906766.919997213.1320087762.4819826088.9419916843.720007327.2420097810.2719836134.9919926911.220017358.5220107869.3419846171.4319936967.2720027405.520117898.819856213.4819947020.5420037457.719866269.919957066.0220047522.95*数据来源于江苏省统计年鉴图11978年以来江苏省人口比上年增长率二、马尔萨斯模型2.1马尔萨斯模型建立英国人口学家马尔萨斯(Malthus)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了马尔萨斯人口模型，他发现关于人口或种群增长成指数增长。其建模思路如下:在简单情况下，人口的(相对)增长率是常数，人口预测采用指数增长函数。假定:0x为初始年人口数，r为人口增长率，kx为k年后的人口数，则有:0(1+r)kkxx（1）记时刻t的人口为()xt，为了利用积分这一数学工具，将()xt视为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为0x。假设人口增长率为常数r，即单位时间内()xt的增量等于()xt乘以r。考虑到t到tt时间内的增量，有()()()xttxtrxtt（2）令0t，得到()xt满足微分方程0,(0)dxrxxxdt，经过数学变换，将上而的公式化为指数形式:0()rtxtxe（3）010203040197819821986199019941998200220062010年增长率（‰）年份总人口增长自然增长这便是著名得马尔萨斯人口模型。2.2马尔萨斯模型参数的确定马尔萨斯模型的求解方法比较简单，通过数学变换先将模型化为线型形式:0ln()lnxtxrt（4）然后采用最小二乘法(OLS)进行线性回归运算即可求出参数0x和r，从而实现数据的模型拟合和预测分析。2.3马尔萨斯模型的应用为了处理方便，在拟合前先将公元纪年式的年份转换为时序t。根据表1中1978-2011年江苏省人口数据和变动规律，分别用1978-2011年(34样本),1992-2011年(20样本),2002-2011年(10样本)三组不同时段的人口数据，借助Excel软件拟合出三个江苏省总人口的马尔萨斯预测模型(表2)，三个模型的拟合优度2R都比较高，模型Ⅲ(10样本)的平均相对误差最小，所以我们选用模型Ⅲ预测江苏省2012-2020年的总人口规模。预测结果表明2015年江苏省总人口数将达到8165.72万人，2020年将达到8473.51万人。具体预测结果详见表3。表2不同样本下江苏省总人口的马尔萨斯模型模型数据序列样本数马尔萨斯预测模型R2ave|q|模型Ⅰ1978-2011年340.0095()5838.33txte0.97941.13%模型Ⅱ1992-2011年200.0072()6871.93txte0.99660.26%模型Ⅲ2002-2011年100.0074()7362.096txte0.99170.15%表3马尔萨斯模型对江苏省2012-2020年总人口预测单位（万人）年份总人口年份总人口年份总人口20127986.4420158165.7220188349.0220138045.7620168226.3720198411.0420148105.5220178287.4720208473.51三、二次指数平滑模型3.1指数平滑模型建立指数平滑法是移动平均法的改进和发展，应用极为广泛。它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，而且使用了全部历史资料。根据平滑次数的不同，又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法等。当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏差，本文采用二次指数平滑模型。对于序列{}ty，其计算公式如下：211211111ttttttSSSSyS（5）其中(1)tS为一次平滑指数；(2)tS为二次指数的平滑值；为加权系数，且01。当时间序列{}ty，从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移动平均法，可用直线趋势模型：TbayttTt（6）212112ttttttSSbSSa（7）进行预测，T为外推的期数。3.2二次指数平滑模型的应用为了处理方便，在计算前先将公元纪年式的年份转换为时序t。由于时间序列数据较多，初值对以后的预测值影响很小，本文选取第一期数据为初值。根据表1中1978-2011年江苏省人口数据和变动规律，分别取0.3、0.5、0.7，借助Excel软件拟合出三个江苏省总人口的二次指数平滑预测模型(表4)。三个模型的平均相对误差都比较小，0.3的平均相对误差最小，所以以2011年为基期，选用0.3预测江苏省2012-2020年的总人口规模。预测结果表明2015年江苏省总人口数将达到8097.72万人，2020年将达到8379.75万人。具体预测结果详见表5。表4不同值下江苏省总人口的二次指数平滑模型值数据序列样本数预测模型ave|q|0.31978-2011年34ˆ7872.1056.41tTyT0.69%0.51978-2011年34ˆ7904.9948.25tTyT0.83%0.71978-2011年34ˆ7900.9242.27tTyT0.88%表5二次指数平滑模型对江苏省2012-2020年总人口预测单位（万人）年份总人口年份总人口年份总人口20127928.5120158097.7220188266.9420137984.9120168154.1320198323.3420148041.3220178210.5320208379.75四、灰色预测模型4.1灰色GM(1,1)模型建立灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授在1982年创立的一门新兴横断学科，它以“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和确切描述。灰色预测所需的信息量少，最少只要4个数据便可进行预测，具有思路简单、数据单纯、运算简便等特点，对改善数据随机性、提高预测精度有着较显著的优越性和合理性。GM(1,1)模型的建立步骤如下:第一步:对原始人口数据序列(0)(0)(0)(0)(1),(2),...,()Xxxxn作一次累加生成处理，得到新的人口数据序列(1)(1)(1)(1)(1),(2),...,()Xxxxn，其中(1)(0)1()()kixkxi，1,2,...,kn。第二步:构造新人口序列(1)X的紧邻均值生成序列(1)Z：(1)(1)(1)(1)(2),(3),...,()Zzzzn其中(1)(1)(1)1()(()(1)),2,3,...,2zkxkxkkn。用原始人口数据序列(0)X和新的人口数据序列(1)X构造矩阵B和列项量Y。(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)1(3)(3)1,()(n)1xzxzYBxnz第三步:将新人口数据序列(1)X的变化趋势近似地用以下的微分方程描述:(1)(1)dxaxbdt（8）式中的参数a和b可通过如下最小二乘法得到：1(,)()TTTabBBBY。第四步:求出(8)式所对应的时间响应函数，即预测公式:(1)(1)()(0)atbbxtxeaa（9）第五步:用(9)式求出一次累加数据的预测值(1)ˆ()xt，进而求得原始数据的还原值(0)ˆ()xt：(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)=(1)(),1,2,...,xkxkxkkn（10）借助Excel软件，可以容易求得灰色GM(1,1)模型的数据拟合和预测。4.2GM(1,1)模型的精度检验用人口数据序列拟合出的GM(1,1)模型能否用于预测，还需要对其进行精度检