数学解题中的差异分析法

1数学解题中的差异分析法程富良所谓差异分析法简单就是寻找题目中条件与结论之间的差异，再通过不断平衡这些差异达到解题目标的方法。差异分析可以为我们确定解题的方向，一旦找到平衡，就要做到立即平衡差异，直到到达目标.【例题1】(高一练习册P35例4)已知11223aa，求下列各式的值：(1)1aa；（2）22aa；（3）33221122aaaa.【分析】(1)差异：条件11223aa中的指数分别为11-22和结论1aa中的指数分别为1-1和即结论中的指数分别是条件中的指数是2倍平衡：易知将11223aa两边同时平方就达到差异平衡解：(1)由11223aa得：112222()3aa即129aa所以17aa(2)(3)略【例题2】(高一练习册P44第9题)若lglg2lg(2)xyxy，则2logxy.【分析】差异①:条件lglg2lg(2)xyxy的左边是和的形式，右边是单项平衡①：lglglgxyxy2lg(2)xy差异②：等式lg2lg(2)xyxy左边的系数为1，右边的系数为2平衡②：2lglg(2)xyxy即有2(2)xyxy，整理得22540xxyy差异③：等式22540xxyy的左边都是二次项，而结论中的2logxy的真数xy是分式形式2平衡③：将22540xxyy两边同除以2y即可得到xy的形式解：由lglg2lg(2)xyxy得：lg2lg(2)xyxy∴2lglg(2)xyxy∴2(2)xyxy∴22540xxyy将上式两边同除以2y得：∴2()540xxyy∴4xy或1又0,0,20xyxy2xy4xy222loglog4log164xy【例题3】(高一练习册P31例4)设函数()fx对任意的,xyR，都有()()()fxyfxfy，且0x时，2()0,(1)3fxf(1)证明：()fx是奇函数；(2)()fx在R上为减函数.【分析】（1）要证明()fx是奇函数即要证明对任意的xR，有()()fxfx，也就是()()0fxfx差异①:对比()()()()()0fxfyfxyfxfx知等式左边存在()yx与的不同平衡①：令yx3差异②：()()()()()0fxfyfxyfxfx一旦左边相同，右边就是(0)f与0的差别平衡②：证明(0)0f(1)证明：因为函数()fx对任意的,xyR，都有()()()fxyfxfy所以令0xy有：(0)2(0)ff，∴(0)0f令yx有：()()0fxfx，∴()()fxfx故()fx是奇函数【分析】（2）要证明()fx在R上为减函数即要证明对任意的12xx有：21()()0fxfx差异①：对比21()()0fxfx与()()()fxyfxfy，第一个不等式是差的形式，第二个等式是和的形式平衡①：将()()()fxyfxfy改成差的形式:()()()fxyfxfy差异②：对比21()()0fxfx与()()()fxyfxfy的左边，存在2xxy，1xx的差别平衡②：令2xyx，1xx差异③：通过平衡②，()()()fxyfxfy变为：2121()()()fxfxfxx，与21()()0fxfx比较：存在等式与不等式的差别平衡③：证明21()0fxx(2)证明:由()()()fxyfxfy得：()()()fxyfxfy令2xyx，1xx，则21yxx则：2121()()()fxfxfxx设12xx，则210xx，又因为0()0xfx时，，所以21()0fxx所以21()()0fxfx，即21()()fxfx，4所以()fx在R上为减函数.例题1存在指数上的差异，通过平方很顺利地就能平衡，例题2，例题3主要是结构形式上的差异，通过寻找差异，平衡差异，产生新的差异，再平衡新的差异，逐步缩小条件与结论之间的差异，从而到达解题目标。事实上很多高一的学生课本的大部分习题会做，而课外的一些练习往往又一筹莫展，希望此片小文对你们有一点点启示。【尝试练习】1，设24(0,0),abmab且6ab，则m=；2，已知0,0xy，且230xxyy，求2xxyyxy；3，已知()fx是定义域在[-1,1]上的函数，()()fxfx，若,[1,1]ab，0ab有()()0fafbab，判断()fx在[-1,1]上是增函数还是减函数，并证明之.