数学选修2-2第一章单元检测(B)

第一章导数及其应用(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是()A．0B．3C．－2D．3－2t3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点处的切线方程为()A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x－11D．y＝－4x＋74．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋34上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.0，π2B.0，π2∪2π3，πC.2π3，πD.0，2π35．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)6．下列等式成立的是()A．ʃba0dx＝b－aB．ʃbaxdx＝12C．ʃ1－1|x|dx＝2ʃ10|x|dxD．ʃba(x＋1)dx＝ʃbaxdx7．已知a0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为()A．1B．2C．3D．48．若函数f(x)＝asinx＋13cosx在x＝π3处有最值，那么a等于()A.33B．－33C.36D．－369．已知ʃ20f(x)dx＝3，则ʃ20[f(x)＋6]dx等于()A．9B．12C．15D．1810．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－1311．函数f(x)＝x1－x的单调增区间是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益()A．0.012B．0.024C．0.032D．0.036题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________．14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于x∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a的值为________．15.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．②f(x)的极值点有且只有一个．③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．19.(12分)一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇334km处的海岸渔站，如果送信人步行速度为5km/h，渔船为4km/h，问：应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最短？20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5000台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则60000150×4000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．答案1．B[f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)f′(xB)．]2．B[物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]3．B[∵曲线过点(a，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，∴该点处切线斜率为k＝4，∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]4．B5．B[f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]6．C[由积分的几何意义及性质得ʃba0dx＝0，y＝|x|是偶函数，故C显然正确．]7．C8．A[f′(x)＝acosx－13sinx，由题意f′π3＝0，即a·12－13×32＝0，∴a＝33.]9．C[ʃ20[f(x)＋6]dx＝ʃ20f(x)dx＋ʃ206dx＝3＋12＝15.]10．B[由y′＝a·eax＋3＝0，得eax＝－3a0，∴a0，∴0eax1，∴0－3a1，∴a－3.]11．C[∵f′(x)＝x′1－x－x1－x′1－x2＝1－x＋x1－x2＝11－x20，又x≠1，∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B[由题意知，存款量g(x)＝kx(k0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大利益．]13．(－∞，－1]解析∵f′(x)＝－x＋bx＋2＝－xx＋2＋bx＋2＝－x2－2x＋bx＋2，又f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，即f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，又x＋20，故－x2－2x＋b≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x－b≥0在(－1，＋∞)上恒成立．又函数y＝x2＋2x－b的对称轴为x＝－1，故要满足条件只需(－1)2＋2×(－1)－b≥0，即b≤－1.14．4解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0，显然成立；当x0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4；当x0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≤3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间[－1,0)上单调递增．因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上所述，a＝4.15.439解析设CD＝x，则点C坐标为x2，0.点B坐标为x2，1－x22，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x22＝－x34＋x(x∈(0,2))．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍)，x2＝23，∴x∈0，23时，f′(x)0，f(x)是递增的，x∈23，2时，f′(x)0，f(x)是递减的，当x＝23时，f(x)取最大值439.16．①③解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f(0)＝0，f′(－1)＝f′(1)＝tan3π4＝－1.∴c＝03－2a＋b＝－13＋2a＋b＝－1，∴a＝0，b＝－4，c＝0.∴f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．由f′(x)＝3x2－4＝0得x1＝－233，x2＝233.根据x1，x2分析f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.x－2(－2，－233)－233(－233，233)233(233，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)0Z1639]－1639Z0∴x＝－233是极大值点也是最大值点．x＝233是极小值点也是最小值点．f(x)min＋f(x)max＝0.∴②错，③正确．17．解f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0，即x2－1≤a(x－1)．∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥x2－1x－1＝x＋1.又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5，①由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0，即x2－1≥a(x－1)．∵x∈(6，＋∞)，∴x－10，∴a≤x2－1x－1＝x＋1.又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7，②∵①②同时成立，∴5≤a≤7.经检验a＝5或a＝7都符合题意，∴所求a的取值范围为5≤a≤7.18．解(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′－23＝129－43a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－12，b＝－2.f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)0，得x－23或x1，令f′(x)0，得－23x1.所以函数f(x)的递增区间是－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是－23，1.(2)f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，由(1)知，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)c2，x∈[－1,2]恒成立，则只需要c2f(2)＝2＋c，得c－1或c2.19.解如图所示，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，C为海岸渔站，D为海岸上一点．∵AB＝9，AC＝334，∴BC＝AC2－AB2＝15.设由A到C所需时间为t，CD的长为x，则t＝15x＋1415－x2＋81(0≤x≤15)，∴t′＝15－15－x415－x2＋81令t′＝0，解得x＝3，x＝27(舍)．在x＝3附近，t′由负到正，因此在x＝3处取得极小值．又t(0)＝3344，t(15)＝214，t(3)＝8720，比较可知t(3)最小．∴在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最短．20．解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x台，所以每年的保管费用为12x·4000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5000x·1600元，这样每年的总费用为5000x·1600＋12x·4000·10%元．令y＝5000x·1600＋12x·4000·10%，y′＝－1x2·5000·1600＋12·4000·10%.令y′＝0，解得x＝200(台)．也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80000元．21．(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(