数形结合在解题中的应用初稿

数形结合在解题中的应用数学与统计学院应用数学二班2010级余天然指导老师金璐摘要：随着世界经济全球化的发展和我国市场经济的完善，数学的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分.其中数形结合作为一种重要的数学思想，数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。论文结合数学教材中的实际情况，从以下三个角度对数形结合在解题中的应用做了详细的阐述，并且通过大量的实例对数形结合思想在解题中的应用进行了研究与分析：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”，二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”三是充分的分析问题图形与数量关系使它们互为补充，化抽象为直观，化难为易，即“数形转换”。关键词：数学思想数形结合解题Abstract:withthedevelopmentofworldeconomicglobalizationandtheperfectionofmarketeconomyinourcountry,thecontentofthemathematics,thethought,methodandlanguagehasbeenwidelyinfiltrationofnaturalscienceandsocialscience,andbecomeanimportantpartofmodernculture.Thenumberformcombiningasakindofimportantmathematicsthought,severalformcombiningabilityenhancement,isadvantageoustothedeepunderstandingfromthecombinationofshapeandnumberoftheessenceofthemathematicsproblem,beneficialtolayasolidmathematicalfoundation,beneficialtotheimprovementofthemathematicsquality,atthesametimemustpromotethedevelopmentofmathematicalability.Mathematicsteachingmaterialofpapercombinedwiththeactualsituation,fromthefollowingthreepointoflogarithmicformindetailtheapplicationofproblemsolving,andthroughalargenumberofexampleslogarithmicformcombiningideasintheapplicationofproblemsolvingwasstudiedwithanalysis:oneistheaccuracyofthenumberofformtoclarifysomeoftheattributes,namelytothenumberofsolution,thesecondisusingfractalgeometricintuitivenesstoclarifyarelationshipbetweenseveral,thatistohelpthenumberthreeissufficienttoanalyzequantitativerelationshipbetweengraphicsandmakethemcomplementeachother,turnabstractintointuitive,hard,namelythenumbershapetransformation.Keywords:mathematicalthoughtsymbolic-graphiccombinationsolveproblems一、数形结合思想的基本介绍（1）数形结合的实质数和形是数学研究客观问题的两个方面，数侧重研究物体的数量方面，具有精确性；而形侧重研究物体的形状方面，具有直观性。数形结合思想就是把两者充分地结合起来，即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合起来，换言之即，用数来反映空间形式，用形来说明数量关系，这样可使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。数形结合思想是解析法、三角法、复数法、向量法、图解法等一系列方法的概括，其思维策略是把形与数这两个数学研究的基本对象联系起来作综合考察，充分发挥代数与几何等学科理论各自的优势来解决问题，把这一类方法的基本精神概括上升，就形成了数形结合的思想数形结合思想，通俗的说，就是代数与几何相结合的思想，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它是一种通过沟通“数”与“形”的某些因素发挥“数”与“形”的优点，实现“数”与“形”的和谐统一，从而解决数学问题的思想。例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。（2）数形结合的着眼点与好处所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化，其着眼点在代数与几何的沟通上。这里借用华罗庚先生的关于数形结合的一首词来解释数形结合的好处：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，且莫分离。二、数形结合思想在数学中的重要性（1）数形结合思想在数学中的地位数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础，而数与形的结合贯穿于数学发展的进程中，是数学发展中的两大基石。数形结合方法是数学中重要基本思想方法之一，是数学的本质特征。数形结合，是求解数学问题的一种常用思维方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简洁。数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。（2）数形结合思想在数学中的实现所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化。数形结合的实现通常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③函数与图像的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。（3）数形结合思想在数学中的作用数形结合的思想方法应用广泛，常见的比如在解方程和不等式问题中，在求解三角函数问题中，在求函数的定义域、值域等问题中数形结合思想都具有极其重要的作用。运用数形结合思想，不仅直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大的简化了解题过程，尤其在解选择题和填空题中更是节约了不少时间。（4）在教学中提高学生的数形结合能力一般而言，我们可以用线段图和数学画来帮助分析解决问题，从而提炼数形结合的解题策略。实践操作，引导学生从尝试探究中获取策略。瑞士心理学家皮亚杰指出：“儿童的知识来源于动作，而非来源于物体。”用图画整理混乱的信息，都是让学生在独立思考或合作交流中，通过动手操作尝试探究解决问题，让学生在动手、动眼、动口中加深对算理的理解，使知识内化，从而获得成功，激发兴趣，建立自信，体验数形结合的绝妙，从而获得数形结合的解题策略。分层递进，构建数形结合解决问题的策略体系。教学设计多组练习，看似相对独立，实则环环相扣，分层递进，既有效地对学生进行了数学思想操的培训，又帮助学生构建了一个完整的数形结合解决问题的策略体系，有效地提高了学生解决数学问题的能力。潜移默化，渗透数学思想教学。学生的解题策略需要在数学思想的指导下来实现，而数学思想不是一、两节课就能教给学生的，而是靠教师在平时的教学中，从点点滴滴开始，潜移默化地渗透给学生，让学生去感悟去体会，然后才能运用。从形到数，再从数到形，画线段图，画数学画渗透了数形结合的思想、替代思想、转化思想，假设思想，随时根据学生的回答随机提炼这些数学思想，让学生在无形中接受数学思想的熏陶，为学生数学素养的形成奠定了一个坚实的基础。三、数形结合在解题中的具体应用（1）.以“形”助“数”——一借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。（2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。（3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。（4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。2.以“数”解“形”——借助于数精确性来阐明形的某些属性数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。代数方法的特点是解答过程严密，规范，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势。华