数据的处理最小二乘法

误差与实验数据的处理方法误差•系统误差：由一些固定的原因所产生，其大小、正负有重现性，也叫可测误差。•方法误差：分析方法本身所造成的误差。•随机误差：由偶然因素引起的误差，所以又称偶然误差。如，同一坩埚称重(同一天平，砝码)，得到以下克数：•29.3465，29.3463，29.3464，29.3466•过失误差：由操作人员的主观原因、操作不当造成的误差。系统误差的性质可归纳为如下三点：•重现性•单向性•数值基本恒定•系统误差可以校正。可用一定的方法消除。偶然误差的性质：•误差的大小、正负都是不固定的。•偶然误差不可测误差。•在消除系统误差后，在同样条件下多次测定，可发现偶然误差服从统计规律。偶然误差（随机误差）原因：•由难以控制、无法避免的因素（环境的温度，湿度，气压的微小波动，仪器性能的微小变化）所引起的。故又称不可测误差。误差的产生和消除•方法误差：（比较严重的）原因：分析与操作方法本身造成的。•例：重量分析中的沉淀的溶解或吸附杂质。•仪器的操作不当等。•消除方法：作对照试验，用已知的标准试样进行多次测定。•通过校正系数校正试样的分析结果。标准试样测定值标准试样标准值校正系数校正系数试样测定值分析结果系统误差可校正偶然误差可控制过失误差可避免•实验必然要采集大量数据，实验人员需要对实验数据进行记录、整理、计算与分析，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。所以说，实验数据处理是实验工作不可缺少的一部分。下面介绍实验数据处理常用的四种方法。•1、列表法•列表法没有统一的格式，但在设计表格时要求能充分反映上述优点，初学者要注意以下各点：•(1)各栏目都要注明名称和单位。•(2)栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。•(3)反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。•2、图解法•（1）作图必须用坐标纸：•当决定了作图的参量以后，根据情况选择用直角坐标纸(即毫米方格纸)，对数坐标纸，半对数坐标纸或其它坐标纸。•（2）坐标比例的选取与标度：•作图时通常以自变量作横坐标（x轴），以因变量作纵坐标(y轴)，并标明坐标轴所代表的物理量(或相应的符号)和单位。坐标比例的选取，原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的。坐标比例选得不适当时，若过小会损害数据的准确度；若过大会夸大数据的准确度，并且使实验点过于分散，对确定图线的位置造成困难。•（3）数据点的标出：•实验数据点用“+”符号标出，符号的交点正是数据点的位置。同一张图上如有几条实验曲线，各条曲线的数据点可用不同的符号(如×，⊙等)标出，以示区别。•（4）曲线的描绘：•由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等连接。要尽可能使所描绘的曲线通过较多的测量点。•（5）注解和说明：•在图纸上要写明图线的名称、作图者姓名、日期以及必要的简单说明(如实验条件：温度、压力等)。•直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。其步骤如下：•选点求斜率求截距1.标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。P(KN)f(mm)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.003.连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。2.标实验点：实验点可用“”、“”、“”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。4.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线5.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：)k(379.076.258.1800.100.7ABABIIUUR至此一张图才算完成●不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正为：•3、逐差法•当自变量与因变量之间成线性关系，自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时，可使用逐差法计算因变量变化的平均值。它既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果．具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。4、最小二乘法（线性回归）•作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往带有较大的任意性，所得的结果也常常因人而异，而且很难对它作进一步的误差分析，为了克服这些缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题)，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线型的函数可以通过适当的数学变换而改写成直线方程，这一方法也适用于某些曲线型的规律。在很多物理实验中，x和y这两个物理量中总有一个物理量的测量精度要比另一个高很多，其测量误差可以忽略。通常把它作为自变量x，其测量值xi可以看作是准确值。对应于某个xi值，另一个y的测量值yi是随机变量。设x和y的函数关系由理论公式y=ƒ(x;c1,c2,…,cm)给出，其中c1,c2,…,cm是需要通过拟合确定的参数。4、数据的直线拟合(最小二乘法)4、数据的直线拟合(最小二乘法)用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的理论基础、最佳经验公式y=a+bx中a、b的求解:通过实验，等精度地测得一组实验数据（xi，yi，i=1，2…n），设此两物理量x、y满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为y=f(x)=a+bx，当所测各yi值与拟合直线上各估计值f(xi)=a+bxi之间偏差的平方和最小，即时，所得拟合公式即为最佳经验公式。据此有解得min)]([)]([22iiiibxayxfys0)(2iibxayas0)(2iiixbxaybs222)(iiiiiiixnxxyxyxa22)(iiiiiixnxyxnyxb补充：数据的直线拟合(最小二乘法)相关系数r：最小二乘法处理数据除给出a、b外，还应给出相关系数r，r定义为r表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度，r[-1，1]。|r|1，x、y间线性关系好，|r|0，x、y间无线性关系，拟合无意义。物理实验中一般要求r绝对值达到0.999以上(3个9以上)。22)()()()(yyxxyyxxriiiinxxinyyi其中