张灿数学11-1班

课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目:复合泊松过程应用问题学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学11-1班学生姓名：abc学生学号：abc指导教师：abc2013年12月9日随机过程课程设计目录任务书........................................................................................................................3摘要.........................................................................................................................4第一章绪论............................................................................................................5第二章复合泊松过程的基本理论...........................................................................52.1复合泊松过程的定义及物理意义.............................52.2复合泊松过程的实例.......................................52.3与复合泊松过程有关的的命题...............................62.4复合泊松过程恒等式.......................................82.5复合泊松过程的可加性及证明.............................................................8第三章问题描述及分析计算.................................................................................103.1以复合泊松过程为模型的问题..............................103.2典型例题的具体分析.....................................10第四章MATLAB程序及运行结果.....................................114.1典型1,2的matlab程序...................................114.2问题小结................................................13第五章结论.............................................................................................................13第六章参考文献.....................................................................................................13评阅书……………………………………………………………………………14随机过程课程设计课程设计任务书姓名abc学号abc指导教师abc设计题目复合泊松过程应用问题理论要点根据复合泊松过程的重要定理：设)(1)(tNkkYtX，0t是复合泊松过程,则(1)}0),({ttX是平稳独立增量过程;(2)X(t)的特征函数]}1)([exp{)}]([exp{)(tgttiuXEugytx，其中)(ugY是随变量1Y的特征函数;（3）若,)(21YE则].[)]([],[)]([211YtEtXDYtEtXE设计目标建立复合泊松过程的应用模型，利用MATLAB软件进行求解，针对其问题给出分析。研究方法步骤首先阐述复合泊松过程的基本理论，其次描述实际问题，分析问题，最后用用MATLAB求解，得出结论。预期结果利用MATLAB软件求解，计算其复合泊松过程问题的概率，期望，方差，得出问题的变化规律。计划与进步的安排课程设计安排：（分四次完成）第一次（2天）：去图书馆查找相关资料，设计课程的大纲；第二次（2天）：整理思绪，书写论文的绪论、摘要等部分；第三次(2天)：书写论文的正文部分，编排全文；第四次（1天）：书写论文的结尾部分，及修改，整体排版。参考资料[1]申鼎煊.随机过程.武汉：华中理工大学出版社，1990[2]刘次华.随机过程（第四版）.武汉：华中科技大学出版社，2008[3]张波.张景肖.应用随机过程.北京：清华大学出版社，2004[4]孙荣恒.随机过程及其应用.北京：清华大学出版社，2003[5]汪荣鑫.随机过程.西安：西安交通大学出版社，2006填写时间2013年12月9日随机过程课程设计摘要泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson,Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。关键字：复合泊松过程MATLAB软件概率论模型分布随机过程课程设计复合泊松过程应用问题第一章绪论人们在考虑设备故障所需的维修费,自然灾害所造成的损失,股票市场的价格变动是都会碰到这样一类模型:事件的发生依从一个Poisson过程,而每一次事件都还附带一个随机变量(例如费用,损失等).这时人们感兴趣的不仅仅是事件发生的次数,人们还要了解总费用或总损失.这也就是累计值过程,0,)()(1tYtXtNkk其中为独立同分布的随机变量.它们有分布函数,均值,方差,是参数为的Poisson过程,就是复合Poisson过程。第二章基本理论2.1定义：设0,ttN是强度为的泊松过程，,2,1,kYk是一列独立同分布随机变量，且与0,ttN独立，令,0,)()(1tYtXtNkk则称}0),({ttX为复合泊松过程。物理意义：如0,ttN表示粒子流，)(tN表示[t,0]内到达的粒子数，iY表示第i个粒子的能量，则)(tX表示[t,0]内到达粒子的总能量。2.2实例：例1,设)(tN是在时间段],0(t内来到某商店的顾客数,设}0),({ttN是泊松过程.若kY是第k个顾客在商店所花的钱数,则},...,2,1,{kYk是独立同分布随机变量序列,且与}0),({ttN独立,记)(tX是该商店在],0(t时间段的营业额,则,0,)()(1tYtXtNkk是一个复合泊松过程。例2，假设发生火灾的累计次数为泊松过程}0),({ttN，第k次火灾后支随机过程课程设计付的赔偿金kY，则到时刻t累计的赔偿金总数为,0,)()(1tYtXtNkk是一个复合泊松过程。例3,假设在股票交易市场，股票交易次数)(tN为强度为的泊松过程，记第k次与第1k次交易前后股票价格的变化为kY，不妨假定它们是独立同分布的随机变量，且与}0),({ttN独立，而,0,)()(1tYtXtNkk代表时刻t股票总价格变化，这是投资者计算盈亏决定投资意向的重要指标，}0),({ttX是一个复合泊松过程。例4，对保险公司的总要求。假设某人寿保险公司的保险单持有者在时刻1，2，…死亡，其中210…。他们的死亡是强度为的泊松型事件。在时刻n死亡的保险金额为nY，这些钱在他死亡时由保险公司支付。保险公司为了确定应当保持多少储备以便支付对它提出的赔偿要求，自然很想知道从0到t这段时间内将要支付的总金额)(tX，可以表示为,0,)()(1tYtXtNkk因此}0),({ttX是一个复合泊松过程。2.3与复合泊松过程有关的的命题：设)(1)(tNkkYtX，0t是复合泊松过程,则（1）}0),({ttX是平稳独立增量过程；（2）)(tX的特征函数]}1)([exp{)}]([exp{)(tgttiuXEugytx，其中)(ugY是随机变量1Y的特征函数;（3）若,)(21YE则].[)]([],[)]([211YtEtXDYtEtXE。随机过程课程设计证：（1）设mttt...010，则)()1(1)()(kiktNtNiikkYtXtX,mk,....2,1,由条件不难验证)(tX具有独立增量性。)(tX的平稳增量性，须证明对于任意ts0，)()(sXtX的特征函数只与st有关。（2）)()(ugtX][)(tiuXeE=})({])([)(0ntNPntNeEtiuXn=1)(])([10ntentNeEntYiunnkk=!)(][10nteeEntYiunnkk=!)()]([0nteugntnYn=exp{]}.1)([ugtY因此，}0),({ttX具有平稳增量性。（3）利用特征函数与矩的关系得到，对上式0u处求导，有，}{)0()}({)(YEtgtXEtX}{)}({2YtEtXD也可利用条件期望的性质})]()([{)]([tNtXEEtXE，得到])()([ntNtXE])([)(1ntNYEtNii])([1ntNYEnii),(][11YnEYEnii因此，})]()([{)]([tNtXEEtXE1)]([EYtNE=).(1YtE类似地，],[)()]()([1YDtNtNtXD随机过程课程设计)({)]([tNEtXDD[1Y]}+D{N(t)E[]}1Y=.)()()(21211YtEEYtYtD2.4复合泊松过程恒等式：设NkkXY1是复合Poisson随机变量，其中随机变量N服从均值为的Poisson分布，随机变量序列,2,1,{kXk…}是独立同分布的,且与N独立统计，设,2,1,{kXk…}的分布函数为)(xF，则对任意的有界函数)(xh有：))(())((XYXhEYYhE其中随机变量X与N统计独立，它的分布函数也为)(xF。注：如果随机变量N换为Poisson过程)(tN，则相应的恒等式中参数应为t。同时，Poisson恒等式给出了计算Y的各阶统计量的一个迭代算法。2.5复合泊松过程的可加性及证明：设}0),({1ttS,}0),({2ttS是两个独立的复合泊松过程，其中)(111)(tNiiXtS,)(122)(tNjjYtS,{0),(1ttN},{0),(2ttN}分别是参数为1和2的泊松过程，则有{0),()()(21ttStStS}仍然是一复合泊松过程。证明：由复合泊松过程的定义知，{0),()()(21ttStStS}是一列随机变量{kZ}的和构成的，而kZ与某个iX和某个jY相等，显然)()(12121)()()(tNtNkkZtStStS，又由命题知，{0),()()(21ttNtNtN}是一参数为21的泊松过